En matemáticas y estadística , una distribución asintótica es una distribución de probabilidad que es, en cierto sentido, la distribución "limitante" de una secuencia de distribuciones. Uno de los usos principales de la idea de una distribución asintótica es proporcionar aproximaciones a las funciones de distribución acumulativa de los estimadores estadísticos .
Definición
Una secuencia de distribuciones corresponde a una secuencia de variables aleatorias Z i para i = 1, 2, ..., I. En el caso más simple, existe una distribución asintótica si la distribución de probabilidad de Z i converge a una distribución de probabilidad (la distribución asintótica) cuando i aumenta: ver convergencia en la distribución . Un caso especial de distribución asintótica es cuando la secuencia de variables aleatorias es siempre cero o Z i = 0 cuando i se acerca al infinito. Aquí la distribución asintótica es una distribución degenerada , correspondiente al valor cero.
Sin embargo, el sentido más habitual en el que se utiliza el término distribución asintótica surge cuando las variables aleatorias Z i son modificadas por dos secuencias de valores no aleatorios. Así que si
converge en distribución a una distribución no degenerada para dos secuencias { a i } y { b i } entonces se dice que Z i tiene esa distribución como su distribución asintótica. Si la función de distribución de la distribución asintótica es F , entonces, para n grande , se cumplen las siguientes aproximaciones
Si existe una distribución asintótica, no es necesariamente cierto que cualquier resultado de la secuencia de variables aleatorias sea una secuencia convergente de números. Es la secuencia de distribuciones de probabilidad la que converge.
Teorema del límite central
Quizás la distribución más común que surge como una distribución asintótica es la distribución normal . En particular, el teorema del límite central proporciona un ejemplo en el que la distribución asintótica es la distribución normal .
- Teorema del límite central
- Suponga que { X 1 , X 2 , ...} es una secuencia de variables aleatorias iid con E [ X i ] = µ y Var [ X i ] = σ 2 <∞. Sea S n el promedio de { X 1 , ..., X n }. Entonces, a medida que n se acerca al infinito, las variables aleatorias √ n ( S n - µ) convergen en distribución a una N normal (0, σ 2 ): [1]
El teorema del límite central da solo una distribución asintótica. Como aproximación para un número finito de observaciones, proporciona una aproximación razonable solo cuando está cerca del pico de la distribución normal; requiere una gran cantidad de observaciones para extenderse hacia las colas.
Normalidad asintótica local
La normalidad asintótica local es una generalización del teorema del límite central. Es una propiedad de una secuencia de modelos estadísticos , que permite que esta secuencia sea aproximada asintóticamente por un modelo de localización normal , después de un reescalado del parámetro. Un ejemplo importante cuando se mantiene la normalidad asintótica local es en el caso de muestreo independiente e idénticamente distribuido de un modelo paramétrico regular ; este es solo el teorema del límite central.
Barndorff-Nielson & Cox proporcionan una definición directa de normalidad asintótica. [2]
Ver también
Referencias
- ^ Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida (tercera ed.). John Wiley e hijos . pag. 357. ISBN 0-471-00710-2.
- ^ Barndorff-Nielsen, OE ; Cox, DR (1989). Técnicas asintóticas para uso en estadística . Chapman y Hall . ISBN 0-412-31400-2.