Para un individuo cuyo salario es , su restricción presupuestaria viene dada por
dónde y son el precio y la compra del i-ésimo producto, respectivamente.
Para maximizar la función de utilidad, la condición de primer orden es:
El gobierno maximiza la función de bienestar social, por lo que
Entonces usamos una función de densidad para expresar el hamiltoniano:
Tomando su variación con respecto a , usamos la condición al máximo.
Entonces se cumple la siguiente relación:
Sustituyendo esta relación en la condición anterior se obtiene:
y obtenemos
Tenga en cuenta que no hay pérdida de generalidad al establecer cero, por eso ponemos . Desde, tenemos
Por tanto, resulta que no es necesario aplicar impuestos indirectos, [1] es decir, siempre que la función de utilidad sea débilmente separable entre trabajo y todos los bienes de consumo.
Joseph Stiglitz explica por qué los impuestos indirectos son innecesarios, viendo el teorema de Atkinson-Stiglitz desde una perspectiva diferente. [4]
Conceptos básicos
Supongamos que los que están en la categoría 2 son los más capaces. Luego, para la imposición eficiente de Pareto a la que apunta un gobierno, imponemos dos condiciones. La primera condición es que la utilidad de la categoría 1 sea igual o superior a un nivel dado:
La segunda condición es que los ingresos públicos , que es igual o superior al requisito de ingresos , se incrementa en una cantidad determinada:
dónde y indicar el número de individuos de cada tipo. En estas condiciones, el gobierno necesita maximizar la utilidad de categoría 2. Luego, escriba la función de Lagrange para este problema:
que asegura la satisfacción de las restricciones de autoselección, obtenemos las condiciones de primer orden:
Para el caso donde y , tenemos
por y, por lo tanto, el gobierno puede lograr una suma global de impuestos. Para el caso donde y , tenemos
y encontramos que la tasa impositiva marginal para la categoría 2 es cero. Y en cuanto a la categoría 1, tenemos
Si ponemos , entonces la tasa impositiva marginal para la categoría 1 es .
Además, tenemos la siguiente expresión:
donde denotamos por
Por lo tanto, por suposición, , por lo que podemos probar directamente que . En consecuencia, encontramos que la tasa impositiva marginal para la categoría 1 es positiva.
Para el caso donde y , la tasa impositiva marginal para la categoría 2 es negativa. El impuesto de suma global impuesto a una persona de la categoría 1 sería mayor que el de la categoría 2, si el impuesto de suma global fuera factible.
Diversos productos básicos
Ahora debemos considerar un caso en el que el nivel de ingresos y varios productos básicos son observaciones. [ aclaración necesaria ] La función de consumo de cada individuo se expresa en forma vectorial como
En este caso, la restricción presupuestaria del gobierno es
Entonces nosotros tenemos
Aquí nos limitamos al caso en que y . Resulta que
Suponga que todos los individuos tienen la misma curva de indiferencia en el plano CL. La separabilidad entre ocio y consumo nos permite tener cuyos rendimientos
Como resultado, obtenemos
Por lo tanto, encontramos que es innecesario imponer impuestos a los productos básicos. [4]
Condiciones para la aleatorización
Necesitamos considerar un caso en el que las personas de alta capacidad (que generalmente ganan más dinero para demostrar su capacidad) fingen ser como si no fueran más capaces. En este caso, se podría argumentar que el gobierno necesita distribuir al azar los impuestos que se imponen a las personas con baja capacidad, con el fin de aumentar la eficacia de la detección . Es posible que bajo ciertas condiciones podamos hacer la aleatorización de los impuestos sin dañar a los individuos de baja capacidad, y por lo tanto discutimos las condiciones. Para el caso en el que un individuo opta por mostrar su capacidad, vemos que una lista de impuestos está relacionada con. Para el caso en el que un individuo opta por ocultar su capacidad, vemos uno de dos programas de impuestos: y . La aleatorización se realiza de modo que el riesgo del primer caso difiera del del segundo.
Para evitar golpear al grupo de baja capacidad, el consumo medio debe incrementarse en cada . A medida que se maximiza el consumo, una mayor está configurado para un mayor . Entonces las relaciones entre esas variables son
La función de utilidad es y , y tenemos la condición para el óptimo:
y de la misma manera
Y en consecuencia tenemos
dónde y y . similar y .
Entonces nosotros tenemos
dónde . En cuanto a los denotamos por y . También definimos por . Pero la primera derivada de con respecto a , a , es cero (porque ), por lo que necesitamos calcular su segunda derivada.
dónde y . Y entonces desaparece en . Entonces nosotros tenemos
Desde , obtenemos la condición bajo la cual la aleatorización es deseable: [4]