En la geometría del plano euclidiano , la axialidad es una medida de cuánta simetría axial tiene una forma. Se define como la relación entre las áreas del subconjunto simétrico axialmente más grande de la forma y la forma completa. De manera equivalente, es la fracción más grande del área de la forma que puede cubrirse con un reflejo de espejo de la forma (con cualquier orientación).
Una forma que es en sí misma axialmente simétrica, como un triángulo isósceles , tendrá una axialidad de exactamente uno, mientras que una forma asimétrica, como un triángulo escaleno , tendrá una axialidad menor que uno.
Límites superior e inferior
Lassak (2002) mostró que todo conjunto convexo tiene axialidad al menos 2/3. [1] Este resultado mejoró un límite inferior anterior de 5/8 de Krakowski (1963) . [2] El mejor límite superior conocido está dado por un cuadrilátero convexo particular , encontrado a través de una búsqueda por computadora, cuya axialidad es menor que 0.816. [3]
Para triángulos y para cuerpos convexos centralmente simétricos , la axialidad es siempre algo más alta: cada triángulo, y cada cuerpo convexo centralmente simétrico, tiene axialidad al menos. En el conjunto de triángulos obtusos cuyos vértices tienen-coordenadas , , y , la axialidad se acerca en el límite como el -coordenadas se acercan a cero, lo que muestra que el límite inferior es lo más grande posible También es posible construir una secuencia de paralelogramos centralmente simétricos cuya axialidad tiene el mismo límite, mostrando nuevamente que el límite inferior es estrecho. [4] [5]
Algoritmos
La axialidad de una forma convexa dada se puede aproximar arbitrariamente de cerca en tiempo sublineal, dado acceso a la forma por oráculos para encontrar un punto extremo en una dirección dada y para encontrar la intersección de la forma con una línea. [6]
Barequet y Rogol (2007) consideran el problema de calcular exactamente la axialidad, tanto para polígonos convexos como no convexos. El conjunto de todas las posibles líneas de simetría de reflexión en el plano es (por dualidad proyectiva ) un espacio bidimensional, que se dividen en celdas dentro de las cuales se fija el patrón de cruces del polígono con su reflexión, lo que hace que la axialidad varíe suavemente dentro cada celda. De este modo, reducen el problema a un cálculo numérico dentro de cada celda, que no resuelven explícitamente. La partición del avión en celdas ha celdas en el caso general, y celdas para polígonos convexos; se puede construir en una cantidad de tiempo mayor que estos límites por un factor logarítmico. Barequet y Rogol afirman que en la práctica el problema de maximización del área dentro de una sola celda se puede resolver en tiempo, dando (no rigurosos) límites de tiempo generales de para el caso convexo y para el caso general. [7]
Conceptos relacionados
de Valcourt (1966) enumera 11 medidas diferentes de simetría axial, de las cuales la que se describe aquí es la número tres. [8] Requiere que cada una de estas medidas sea invariante bajo transformaciones de similitud de la forma dada, que tome el valor uno para las formas simétricas y que tome un valor entre cero y uno para las otras formas. Otras medidas de simetría con estas propiedades incluyen la relación entre el área de la forma y su superconjunto simétrico envolvente más pequeño y las relaciones análogas de perímetros.
Lassak (2002) , además de estudiar la axialidad, estudia una versión restringida de axialidad en la que el objetivo es encontrar un semiespacio cuya intersección con una forma convexa tenga un área grande que se encuentre enteramente dentro del reflejo de la forma a través del límite del semiespacio. Él muestra que siempre se puede encontrar que una intersección de este tipo tiene un área de al menos 1/8 de la de toda la forma. [1]
En el estudio de la visión por computadora , Marola (1989) propuso medir la simetría de una imagen digital (vista como una funcióndesde puntos en el plano hasta valores de intensidad de escala de grises en el intervalo) encontrando un reflejo que maximiza la integral de área [9]
Cuándo es la función indicadora de una forma dada, esto es lo mismo que la axialidad.
Referencias
- ↑ a b Lassak, Marek (2002), "Aproximación de cuerpos convexos por cuerpos axialmente simétricos", Proceedings of the American Mathematical Society , 130 (10): 3075-3084 (electrónico), doi : 10.1090 / S0002-9939-02- 06404-3 , MR 1908932. Errata, doi : 10.1090 / S0002-9939-03-07225-3 .
- ^ Krakowski, F. (1963), "Bemerkung zu einer Arbeit von W. Nohl", Elemente der Mathematik , 18 : 60–61. Como lo cita de Valcourt (1966) .
- ^ Choi, Chang-Yul (2006), Encontrar el polígono simétrico axialmente inscrito más grande para un polígono convexo (PDF) , Tesis de maestría, Departamento de Ingeniería Eléctrica y Ciencias de la Computación, Instituto Avanzado de Ciencia y Tecnología de Corea.
- ^ Nohl, W. (1962), "Die innere axiale Symmetrie zentrischer Eibereiche der euklidischen Ebene", Elemente der Mathematik , 17 : 59–63. Como lo cita de Valcourt (1966) .
- ^ Buda, Andrzej B .; Mislow, Kurt (1991), "Sobre una medida de axialidad para dominios triangulares" , Elemente der Mathematik , 46 (3): 65-73, MR 1113766.
- ^ Ahn, Hee-Kap; Latón, Peter; Cheong, Otfried; Na, Hyeon-Suk; Shin, Chan-Su; Vigneron, Antoine (2006), "Inscribir un polígono simétrico axialmente y otros algoritmos de aproximación para conjuntos convexos planos", Geometría computacional , 33 (3): 152-164, doi : 10.1016 / j.comgeo.2005.06.001 , hdl : 10203 / 314 , MR 2188943.
- ^ Barequet, Gill; Rogol, Vadim (2007), "Maximizar el área de un polígono axialmente simétrico inscrito en un polígono simple" (PDF) , Computers & Graphics , 31 (1): 127-136, doi : 10.1016 / j.cag.2006.10.006.
- ^ de Valcourt, B. Abel (1966), "Medidas de simetría axial para óvalos", Israel Journal of Mathematics , 4 : 65–82, doi : 10.1007 / BF02937452 , MR 0203589.
- ^ Marola, Giovanni (1989), "Sobre la detección de los ejes de simetría de imágenes planas simétricas y casi simétricas", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 11 (1): 104-108, doi : 10.1109 / 34.23119