En matemáticas , el axioma A de Smale define una clase de sistemas dinámicos que han sido ampliamente estudiados y cuya dinámica se entiende relativamente bien. Un ejemplo destacado es el mapa de herradura de Smale . El término "axioma A" se origina con Stephen Smale . [1] [2] La importancia de tales sistemas queda demostrada por la hipótesis caótica , que establece que, "a todos los efectos prácticos", un sistema termostatizado de muchos cuerpos se aproxima a un sistema Anosov . [3]
Sea M una variedad suave con un difeomorfismo f : M → M . Entonces f es un difeomorfismo del axioma A si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Para las superficies, la hiperbolicidad del conjunto no errante implica la densidad de puntos periódicos, pero esto ya no es cierto en dimensiones superiores. No obstante, los difeomorfismos del axioma A a veces se denominan difeomorfismos hiperbólicos , porque la porción de M donde ocurre la dinámica interesante, es decir, Ω ( f ), exhibe un comportamiento hiperbólico.
Los difeomorfismos del axioma A generalizan los sistemas Morse-Smale , que satisfacen restricciones adicionales (un número finito de puntos periódicos y transversalidad de subvariedades estables e inestables). El mapa de herradura pequeño es un axioma Un difeomorfismo con infinitos puntos periódicos y entropía topológica positiva .
Cualquier difeomorfismo de Anosov satisface el axioma A. En este caso, toda la variedad M es hiperbólica (aunque es una cuestión abierta si el conjunto no errante Ω ( f ) constituye la totalidad de M ).
Rufus Bowen demostró que el conjunto no errante Ω ( f ) de cualquier axioma A difeomorfismo admite una partición de Markov . [2] [4] Así, la restricción de f a un determinado subconjunto genérico de Ω ( f ) se conjuga con un desplazamiento de tipo finito .