Representación eje-ángulo
En matemáticas , la representación eje-ángulo de una rotación parametriza una rotación en un espacio euclidiano tridimensional por dos cantidades: un vector unitario e que indica la dirección de un eje de rotación, y un ángulo θ que describe la magnitud de la rotación alrededor de la eje. Solo se necesitan dos números, no tres, para definir la dirección de un vector unitario e enraizado en el origen porque la magnitud de e está restringida. Por ejemplo, los ángulos de elevación y azimut de e son suficientes para ubicarlo en cualquier marco de coordenadas cartesianas en particular.
Mediante la fórmula de rotación de Rodrigues , el ángulo y el eje determinan una transformación que rota vectores tridimensionales. La rotación ocurre en el sentido prescrito por la regla de la mano derecha . El eje de rotación a veces se denomina eje de Euler .
Es uno de los muchos formalismos de rotación en tres dimensiones . La representación eje-ángulo se basa en el teorema de rotación de Euler , que dicta que cualquier rotación o secuencia de rotaciones de un cuerpo rígido en un espacio tridimensional es equivalente a una rotación pura alrededor de un solo eje fijo.
La representación eje-ángulo es equivalente al vector de rotación más conciso , también llamado vector de Euler . En este caso, tanto el eje de rotación como el ángulo están representados por un vector codireccional con el eje de rotación cuya longitud es el ángulo de rotación θ ,
Muchos vectores de rotación corresponden a la misma rotación. En particular, un vector de rotación de longitud θ + 2π M , para cualquier entero M , codifica exactamente la misma rotación que un vector de rotación de longitud θ . Por tanto, hay al menos una infinidad contable de vectores de rotación correspondientes a cualquier rotación. Además, todas las rotaciones por 2π M son lo mismo que ninguna rotación en absoluto, por lo que, para un entero M dado , todos los vectores de rotación de longitud 2π M, en todas las direcciones, constituyen una infinidad incontable de dos parámetros de vectores de rotación que codifican la misma rotación que el vector cero. Estos hechos deben tenerse en cuenta al invertir el mapa exponencial, es decir, al encontrar un vector de rotación que corresponda a una matriz de rotación dada. El mapa exponencial es sobre pero no uno a uno .
Digamos que estás parado en el suelo y eliges la dirección de la gravedad para que sea la dirección z negativa . Luego, si gira a la izquierda, rotará π / 2 radianes (o 90 ° ) sobre el eje z . Viendo la representación eje-ángulo como un par ordenado , esto sería
