En la teoría de la credibilidad , una rama de estudio de la ciencia actuarial , el modelo de Bühlmann es un modelo de efectos aleatorios (o "modelo de componentes de varianza" o modelo lineal jerárquico ) que se utiliza para determinar la prima adecuada para un grupo de contratos de seguro. El modelo lleva el nombre de Hans Bühlmann, quien publicó una descripción por primera vez en 1967. [1]
Considere i los riesgos que generan pérdidas aleatorias para los que se dispone de datos históricos de m siniestros recientes (indexados por j ). Se determinará una prima por el i- ésimo riesgo en función del valor esperado de las reclamaciones. Se busca un estimador lineal que minimice el error cuadrático medio. Escribir
- X ij para el j -ésimo reclamo sobre el i -ésimo riesgo (asumimos que todos los reclamos para el i -ésimo riesgo son independientes y están distribuidos de manera idéntica )
- para el valor medio.
- - el parámetro para la distribución del i-ésimo riesgo
- - prima por el i-ésimo riesgo
Nota: y son funciones de parámetro aleatorio
El modelo de Bühlmann es la solución al problema:
dónde es el estimador de prima y arg min representa los valores de los parámetros que minimizan la expresión.
La solución al problema es:
dónde:
Podemos dar a este resultado la interpretación de que la parte Z de la prima se basa en la información que tenemos sobre el riesgo específico y la parte (1-Z) se basa en la información que tenemos sobre toda la población.
Prueba
La siguiente prueba es ligeramente diferente a la del documento original. También es más general, porque considera todos los estimadores lineales, mientras que la prueba original considera solo los estimadores basados en la afirmación promedio. [2]
- Lema. El problema se puede plantear alternativamente como:
Prueba:
La última ecuación se deriva del hecho de que
Estamos usando aquí la ley de la expectativa total y el hecho de que
En nuestra ecuación anterior, descomponemos la función minimizada en la suma de dos expresiones. La segunda expresión no depende de los parámetros utilizados en la minimización. Por tanto, minimizar la función es lo mismo que minimizar la primera parte de la suma.
Encontremos puntos críticos de la función
Para tenemos:
Podemos simplificar la derivada, notando que:
Tomando las ecuaciones anteriores e insertando en derivada, tenemos:
El lado derecho no depende de k . Por lo tanto, todos son constantes
De la solución para tenemos
Finalmente, el mejor estimador es