En matemáticas , los argumentos de los máximos (abreviados arg max o argmax ) son los puntos, o elementos , del dominio de alguna función en la que se maximizan los valores de la función . [nota 1] En contraste con los máximos globales , que se refieren a las salidas más grandes de una función, arg max se refiere a las entradas , o argumentos , en los que las salidas de la función son lo más grandes posible.
Como ejemplo, las funciones
sinc normalizadas y no normalizadas anteriores tienen
de {0} porque ambos alcanzan su valor máximo global de 1 en
x = 0.
La función sinc no normalizada (rojo) tiene un
mínimo de
arg de {−4,49, 4,49}, aproximadamente, porque tiene 2 valores mínimos globales de aproximadamente −0,217 en
x = ± 4,49. Sin embargo, la función sinc normalizada (azul) tiene
arg min de {−1.43, 1.43}, aproximadamente, porque sus mínimos globales ocurren en
x = ± 1.43, aunque el valor mínimo es el mismo.
[1]Dado un conjunto arbitrario , un conjunto totalmente ordenado , y una función,, el sobre algún subconjunto de es definido por
Si o es claro por el contexto, entonces a menudo se deja fuera, como en En otras palabras, es el conjunto de puntos para cual alcanza el valor más grande de la función (si existe). puede ser el conjunto vacío , un singleton o contener varios elementos.
En los campos del análisis convexo y el análisis variacional , se utiliza una definición ligeramente diferente en el caso especial dondeson los números reales extendidos . En este caso, si es idénticamente igual a en luego (es decir, ) y de otra manera se define como arriba, donde en este caso también se puede escribir como:
donde se enfatiza que esta igualdad que involucra se sostiene solo cuando no es idénticamente en .
Arg min
La noción de (o ), que significa argumento del mínimo , se define de manera análoga. Por ejemplo,
son puntos para cual alcanza su valor más pequeño. Es el operador complementario de.
En el caso especial donde son los números reales extendidos , si es idénticamente igual a en luego (es decir, ) y de otra manera se define como anteriormente y, además, en este caso (de no idénticamente igual a ) también satisface:
Por ejemplo, si es luego alcanza su valor máximo de solo en el punto Por lo tanto
La El operador es diferente al operador. Laoperador, cuando se le da la misma función, devuelve el valor máximo de la función en lugar del punto o puntos que hacen que esa función alcance ese valor; en otras palabras
- es el elemento en
Como max puede ser el conjunto vacío (en cuyo caso el máximo no está definido) o un singleton, pero a diferencia de no puede contener varios elementos: [nota 2] por ejemplo, si es luego pero porque la función alcanza el mismo valor en cada elemento de
De manera equivalente, si es el máximo de entonces el es el nivel establecido del máximo:
Podemos reorganizar para dar la identidad simple [nota 3]
Si el máximo se alcanza en un solo punto, este punto a menudo se denomina el y se considera un punto, no un conjunto de puntos. Así por ejemplo,
(en lugar del conjunto singleton), ya que el valor máximo de es que ocurre para [nota 4] Sin embargo, en caso de que se alcance el máximo en muchos puntos,debe considerarse un conjunto de puntos.
Por ejemplo
porque el valor máximo de es que ocurre en este intervalo para o En toda la línea real
- así que un conjunto infinito.
Las funciones no necesitan, en general, alcanzar un valor máximo, y por lo tanto el a veces es el conjunto vacío ; por ejemplo, desde no tiene límites en la línea real. Como otro ejemplo, aunque está delimitado por Sin embargo, según el teorema del valor extremo , una función continua de valor real en un intervalo cerrado tiene un máximo y, por lo tanto, un valor no vacío.