En análisis numérico , BDDC (equilibrio de la descomposición de dominios por restricciones) es un método de descomposición de dominios para resolver grandes sistemas simétricos y definidos positivos de ecuaciones lineales que surgen del método de elementos finitos . El BDDC se utiliza como preacondicionador del método de gradiente conjugado.. Una versión específica de BDDC se caracteriza por la elección de grados de libertad aproximados, que pueden ser valores en las esquinas de los subdominios o promedios sobre los bordes o las caras de la interfaz entre los subdominios. Una aplicación del precondicionador de BDDC luego combina la solución de problemas locales en cada subdominio con la solución de un problema grueso global con los grados de libertad gruesos como incógnitas. Los problemas locales en diferentes subdominios son completamente independientes entre sí, por lo que el método es adecuado para la computación en paralelo . Con una elección adecuada de los grados de libertad aproximados (esquinas en 2D, esquinas más bordes o esquinas más caras en 3D) y con formas de subdominio regulares, el número de condicióndel método está limitado al aumentar el número de subdominios, y crece muy lentamente con el número de elementos por subdominio. Por lo tanto, el número de iteraciones está limitado de la misma manera y el método se adapta bien al tamaño del problema y al número de subdominios.
El BDDC fue introducido por diferentes autores y diferentes enfoques aproximadamente al mismo tiempo, es decir, por Cros, [1] Dohrmann, [2] y Fragakis y Papadrakakis, [3] como una alternativa primaria al método de descomposición de dominios FETI-DP de Farhat. et al. [4] [5] Consulte [6] para ver una prueba de que todos estos son en realidad el mismo método que el BDDC. El nombre del método fue acuñado por Mandel y Dohrmann, [7] porque puede entenderse como un desarrollo adicional del método BDD ( equilibrio de la descomposición del dominio ). [8] Mandel, Dohrmann y Tezaur [9]demostró que los autovalores de BDDC y FETI-DP son idénticos, excepto por el autovalor igual a uno, que puede estar presente en BDDC pero no para FETI-DP, por lo que su número de iteraciones es prácticamente el mismo. Más tarde, Li y Widlund [10] y Brenner y Sung obtuvieron pruebas mucho más simples de este hecho . [11]
El espacio aproximado de BDDC consta de funciones mínimas de energía con los valores dados de los grados de libertad aproximados. Este es el mismo espacio burdo que se usa para las esquinas en una versión de BDD para placas y carcasas . [12] La diferencia es que en BDDC, el problema grueso se usa de forma aditiva, mientras que en BDD, se usa de forma multiplicativa.
El método BDDC se usa a menudo para resolver problemas de elasticidad lineal , y quizás se pueda explicar mejor en términos de la deformación de una estructura elástica. El problema de la elasticidad consiste en determinar la deformación de una estructura sujeta a los desplazamientos prescritos y las fuerzas que se le aplican. Después de aplicar el método de los elementos finitos, obtenemos un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, donde las incógnitas son los desplazamientos en los nodos de los elementos y el lado derecho proviene de las fuerzas (y de los desplazamientos prescritos distintos de cero en la frontera, pero, para simplificar, suponga que son cero).
Un preacondicionador toma un lado derecho y entrega una solución aproximada. Entonces, suponga que tenemos una estructura elástica dividida en subestructuras que no se superponen y, para simplificar, suponga que los grados de libertad gruesos son solo esquinas de subdominio. Suponga que se dan las fuerzas aplicadas a la estructura.