- Este artículo trata sobre un componente de los métodos numéricos. Para el espacio grueso en topología, consulte estructura gruesa .
En el análisis numérico , el problema grueso es un sistema auxiliar de ecuaciones que se utiliza en un método iterativo para la solución de un sistema de ecuaciones mayor dado. Un problema burdo es básicamente una versión del mismo problema a menor resolución, conservando sus características esenciales, pero con menos variables. El propósito del problema burdo es propagar información a través de todo el problema a nivel mundial.
En los métodos de cuadrícula múltiple para ecuaciones diferenciales parciales , el problema grueso se obtiene típicamente como una discretización de la misma ecuación en una cuadrícula más gruesa (generalmente, en métodos de diferencias finitas ) o mediante una aproximación de Galerkin en un subespacio , llamado espacio grueso . En los métodos de elementos finitos , se usa típicamente la aproximación de Galerkin, con el espacio grueso generado por elementos más grandes en el mismo dominio . Normalmente, el problema grueso corresponde a una cuadrícula que es dos o tres veces más gruesa.
Los espacios gruesos (modelo grueso, modelo sustituto ) son la columna vertebral de algoritmos y metodologías que explotan el concepto de mapeo espacial para resolver problemas de diseño y modelado de ingeniería computacionalmente intensivos. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] En el mapeo espacial , se usa un modelo fino o de alta fidelidad (alta resolución, computacionalmente intensivo) para calibrar o recalibrar, o actualizar sobre la marcha, como en el mapeo espacial agresivo: un modelo aproximado adecuado. Un modelo aproximado actualizado a menudo se denomina modelo sustituto o modelo aproximado mapeado. Permite un aprovechamiento rápido, pero más preciso, del modelo básico subyacente en la exploración de diseños o en la optimización del diseño.
En los métodos de descomposición de dominios , la construcción de un problema grueso sigue los mismos principios que en los métodos de redes múltiples, pero el problema más grueso tiene muchas menos incógnitas, generalmente sólo una o unas pocas incógnitas por subdominio o subestructura, y el espacio grueso puede ser de un tipo. un tipo bastante diferente al del espacio de elementos finitos original, por ejemplo, constantes por partes con promedios en la descomposición del dominio de equilibrio o construidas a partir de funciones mínimas de energía en BDDC . Sin embargo, la construcción del problema burdo en FETI es inusual en el sentido de que no se obtiene como una aproximación de Galerkin al problema original.
En los métodos algebraicos de redes múltiples y en los métodos de agregación iterativos en economía matemática y cadenas de Markov , el problema grueso se obtiene generalmente mediante la aproximación de Galerkin en un subespacio. En economía matemática, el problema burdo puede obtenerse mediante la agregación de productos o industrias en una descripción burda con menos variables. En las cadenas de Markov, se puede obtener una cadena de Markov gruesa agregando estados.
La velocidad de convergencia de los métodos de descomposición de dominios y redes múltiples para ecuaciones diferenciales parciales elípticas sin un problema grueso se deteriora al disminuir el paso de la malla (o al disminuir el tamaño del elemento, o al aumentar el número de subdominios o subestructuras), lo que hace necesario un problema burdo para un algoritmo escalable .
Referencias
- ^ JW Bandler, RM Biernacki, SH Chen, PA Grobelny y RH Hemmers, "Técnica de mapeo espacial para optimización electromagnética", IEEE Trans. Microondas Teoría Tech., Vol. 42, no. 12, págs. 2536-2544, diciembre de 1994.
- ^ JW Bandler, RM Biernacki, SH Chen, RH Hemmers y K. Madsen, "Optimización electromagnética explotando el mapeo espacial agresivo", IEEE Trans. Microondas Teoría Tech., Vol. 43, no. 12, págs. 2874-2882, diciembre de 1995.
- ^ AJ Booker, JE Dennis, Jr., PD Frank, DB Serafini, V. Torczon y MW Trosset, "Un marco riguroso para la optimización de funciones costosas por sustitutos" Optimización estructural, vol. 17, no. 1, págs. 1-13, febrero de 1999.
- ^ JW Bandler, Q. Cheng, SA Dakroury, AS Mohamed, MH Bakr, K. Madsen y J. Søndergaard, "Mapeo espacial: el estado del arte", IEEE Trans. Microondas Teoría Tech., Vol. 52, no. 1, págs. 337-361, enero de 2004.
- ^ TD Robinson, MS Eldred, KE Willcox y R. Haimes, "Optimización basada en sustitutos mediante modelos de multifidelidad con parametrización variable y mapeo de espacio corregido", AIAA Journal, vol. 46, no. 11 de noviembre de 2008.
- ^ M. Redhe y L. Nilsson, "Optimización del nuevo Saab 9-3 expuesto a cargas de impacto utilizando una técnica de mapeo espacial" , Optimización estructural y multidisciplinaria, vol. 27, no. 5, págs.411-420, julio de 2004.
- ^ JE Rayas-Sanchez, "Poder en simplicidad con ASM: rastreando el algoritmo de mapeo espacial agresivo durante dos décadas de desarrollo e ingeniería de aplicaciones" , IEEE Microwave Magazine, vol. 17, no. 4, págs.64-76, abril de 2016.
- ^ JW Bandler y S. Koziel "Avances en la optimización del diseño basado en electromagnetismo" , IEEE MTT-S Int. Microondas Symp. Digest (San Francisco, CA, 2016).
- Jan Mandel y Bedrich Sousedik, Espacio grueso a lo largo de las edades , Decimonovena Conferencia Internacional sobre Descomposición de Dominios, Springer-Verlag, presentado, 2009. arXiv: 0911.5725
- Olof B. Widlund , El desarrollo de espacios gruesos para algoritmos de descomposición de dominios , en: Métodos de descomposición de dominios en ciencia e ingeniería XVIII, Bercovier, M. y Gander, MJ y Kornhuber, R. y Widlund, O. (eds.), Conferencia Notes in Computational Science and Engineering 70, Springer-Verlag, 2009, Actas de la 18ª Conferencia Internacional sobre Descomposición de Dominios, Jerusalén, Israel, enero de 2008. artículo [ enlace muerto permanente ]
Ver también
- Modelado multiescala