La fórmula de diferenciación hacia atrás ( BDF ) es una familia de métodos implícitos para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias . Son métodos lineales de múltiples pasos que, para una función y un tiempo dados, aproximan la derivada de esa función utilizando información de puntos de tiempo ya calculados, aumentando así la precisión de la aproximación. Estos métodos se utilizan especialmente para la solución de ecuaciones diferenciales rígidas . Los métodos fueron introducidos por primera vez por Charles F. Curtiss y Joseph O. Hirschfelder en 1952. [1]
Formula general
Se utiliza un BDF para resolver el problema del valor inicial.
La fórmula general para un BDF se puede escribir como [2]
dónde denota el tamaño del paso y . Desde es evaluado por lo desconocido , Los métodos BDF son implícitos y posiblemente requieran la solución de ecuaciones no lineales en cada paso. Los coeficientes y se eligen para que el método alcance el orden , que es el máximo posible.
Derivación de los coeficientes
Partiendo de la fórmula uno se aproxima y , dónde es el polinomio de interpolación de Lagrange para los puntos. Usando eso y multiplicar por uno llega al método de pedido BDF .
Fórmulas específicas
Los s -Step BDFs con s <7 son: [3]
- BDF1: (este es el método de Euler al revés )
- BDF2:
- BDF3:
- BDF4:
- BDF5:
- BDF6:
Los métodos con s > 6 no son estables a cero, por lo que no se pueden utilizar. [4]
Estabilidad
La estabilidad de los métodos numéricos para resolver ecuaciones rígidas está indicada por su región de estabilidad absoluta. Para los métodos BDF, estas regiones se muestran en los gráficos siguientes.
Idealmente, la región contiene la mitad izquierda del plano complejo, en cuyo caso se dice que el método es A-estable. Sin embargo, los métodos lineales de varios pasos con un orden mayor que 2 no pueden ser A-estables . La región de estabilidad de los métodos BDF de orden superior contiene una gran parte del semiplano izquierdo y, en particular, la totalidad del eje real negativo. Los métodos BDF son los métodos lineales multipaso más eficientes de este tipo. [4]
BDF1
BDF2
BDF3
BDF4
BDF5
BDF6
Referencias
Citas
- ^ Curtiss, CF y Hirschfelder, JO (1952). Integración de ecuaciones rígidas. Actas de la Academia Nacional de Ciencias, 38 (3), 235-243.
- ^ Ascher y Petzold 1998 , §5.1.2, p. 129
- ^ Iserles 1996 , p. 27 (para s = 1, 2, 3); Süli y Mayers 2003 , pág. 349 (para todos los s )
- ↑ a b Süli y Mayers , 2003 , p. 349
Obras referidas
- Ascher, UM; Petzold, LR (1998), Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas diferenciales , SIAM, Filadelfia, ISBN 0-89871-412-5.
- Iserles, Arieh (1996), Un primer curso en el análisis numérico de ecuaciones diferenciales , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
- Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.
Otras lecturas
- Métodos BDF en el wiki de SUNDIALS (SUNDIALS es una biblioteca que implementa métodos BDF y algoritmos similares).