En la teoría de la probabilidad , una ecuación de equilibrio es una ecuación que describe el flujo de probabilidad asociado con una cadena de Markov dentro y fuera de estados o conjuntos de estados. [1]
Equilibrio global
Las ecuaciones de equilibrio global (también conocidas como ecuaciones de equilibrio total [2] ) son un conjunto de ecuaciones que caracterizan la distribución de equilibrio (o cualquier distribución estacionaria) de una cadena de Markov, cuando tal distribución existe.
Para una cadena de Markov de tiempo continuo con espacio de estado, tasa de transición del estado a dada por y distribución de equilibrio dada por , las ecuaciones de balance global vienen dadas por [3]
o equivalente
para todos . Aquí representa el flujo de probabilidad del estado a estado . Entonces, el lado izquierdo representa el flujo total desde fuera del estado i hacia estados distintos de i , mientras que el lado derecho representa el flujo total fuera de todos los estados. en estado . En general, es difícil desde el punto de vista computacional resolver este sistema de ecuaciones para la mayoría de los modelos de colas. [4]
Saldo detallado
Para una cadena de Markov de tiempo continuo (CTMC) con matriz de tasa de transición , Si se puede encontrar de tal manera que para cada par de estados y
se mantiene, luego sumando , se satisfacen las ecuaciones de equilibrio global y es la distribución estacionaria del proceso. [5] Si se puede encontrar una solución de este tipo, las ecuaciones resultantes suelen ser mucho más fáciles que resolver directamente las ecuaciones de equilibrio global. [4]
Una CTMC es reversible si y solo si se cumplen las condiciones de equilibrio detalladas para cada par de estados y .
A discretas cadenas de Markov de tiempo (DTMC) con matriz de transición y distribución de equilibrio se dice que está en equilibrio detallado si para todos los pares y , [6]
Cuando se puede encontrar una solución, como en el caso de una CTMC, el cálculo suele ser mucho más rápido que resolver directamente las ecuaciones de equilibrio global.
Equilibrio local
En algunas situaciones, los términos a ambos lados de las ecuaciones de equilibrio global se cancelan. Las ecuaciones de equilibrio global se pueden dividir para dar un conjunto de ecuaciones de equilibrio local (también conocidas como ecuaciones de equilibrio parcial , [2] ecuaciones de equilibrio independientes [7] o ecuaciones de equilibrio individuales [8] ). [1] Estas ecuaciones de equilibrio fueron consideradas por primera vez por Peter Whittle . [8] [9] Las ecuaciones resultantes están en algún lugar entre el equilibrio detallado y las ecuaciones de equilibrio global. Alguna solucióna las ecuaciones de balance local es siempre una solución a las ecuaciones de balance global (podemos recuperar las ecuaciones de balance global sumando las ecuaciones de balance local relevantes), pero lo contrario no siempre es cierto. [2] A menudo, la construcción de ecuaciones de equilibrio local equivale a eliminar las sumas externas en las ecuaciones de equilibrio global para ciertos términos. [1]
Durante la década de 1980 se pensaba equilibrio local era un requisito para una distribución de equilibrio del producto en forma de , [10] [11] pero Gelenbe 's G-red modelo mostró que este no es el caso. [12]
Notas
- ^ a b c Harrison, Peter G .; Patel, Naresh M. (1992). Modelado de rendimiento de redes de comunicación y arquitecturas informáticas . Addison-Wesley. ISBN 0-201-54419-9.
- ^ a b c Kelly, FP (1979). Reversibilidad y redes estocásticas . J. Wiley. ISBN 0-471-27601-4.
- ^ Chandy, KM (marzo de 1972). "El análisis y soluciones para redes de colas en general". Proc. Sexta Conferencia Anual Princeton en Ciencias de la Información y Sistemas, Princeton U . Princeton, Nueva Jersey págs. 224–228.
- ^ a b Grassman, Winfried K. (2000). Probabilidad computacional . Saltador. ISBN 0-7923-8617-5.
- ^ Bocharov, Pavel Petrovich; D'Apice, C .; Pechinkin, AV; Salerno, S. (2004). Teoría de las colas . Walter de Gruyter. pag. 37. ISBN 90-6764-398-X.
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- ^ Chandy, K. Mani ; Howard, JH, Jr; Towsley, DF (1977). "Forma de producto y saldo local en redes de colas" . Revista de la ACM . 24 (2): 250–263. doi : 10.1145 / 322003.322009 .
- ^ Gelenbe, Erol (septiembre de 1993). "G-Networks con movimiento de clientes activado". Revista de probabilidad aplicada . 30 (3): 742–748. doi : 10.2307 / 3214781 . JSTOR 3214781 .