En estadística , el teorema de Basu establece que cualquier estadística mínima suficiente completa acotada es independiente de cualquier estadística auxiliar . Este es un resultado de 1955 de Debabrata Basu . [1]
A menudo se usa en estadística como una herramienta para demostrar la independencia de dos estadísticas, demostrando primero que una es lo suficientemente completa y la otra es auxiliar, luego apelando al teorema. [2] Un ejemplo de esto es mostrar que la media muestral y la varianza muestral de una distribución normal son estadísticas independientes, lo que se hace en la sección Ejemplo a continuación. Esta propiedad (independencia de la media muestral y la varianza muestral) caracteriza las distribuciones normales.
Declaración
Dejar ser una familia de distribuciones en un espacio medible y mapas medibles de a un espacio mensurable . (Estos mapas se denominan estadísticos ). es una estadística suficientemente completa delimitada para , y es auxiliar de , luego es independiente de .
Prueba
Dejar y ser las distribuciones marginales de y respectivamente.
Denotamos por la preimagen de un conjunto debajo del mapa . Para cualquier conjunto medible tenemos
La distribución no depende de porque es auxiliar. Igualmente, no depende de porque es suficiente. Por lo tanto
Tenga en cuenta que el integrando (la función dentro de la integral) es una función de y no . Por tanto, dado que está acotada completa la función
es cero para casi todos los valores de y por lo tanto
para casi todos . Por lo tanto, es independiente de .
Ejemplo
Independencia de la media muestral y varianza muestral de una distribución normal (varianza conocida)
Dejar que X 1 , X 2 , ..., X n ser , independientes e idénticamente distribuidas normales variables aleatorias con media μ y varianza σ 2 .
Entonces, con respecto al parámetro μ , se puede demostrar que
la media de la muestra, es una estadística suficiente completa - es toda la información que se puede derivar para estimar μ, y nada más - y
la varianza de la muestra, es una estadística auxiliar; su distribución no depende de μ.
Por tanto, del teorema de Basu se deduce que estas estadísticas son independientes.
Este resultado de independencia también puede probarse mediante el teorema de Cochran .
Además, esta propiedad (que la media muestral y la varianza muestral de la distribución normal son independientes) caracteriza la distribución normal; ninguna otra distribución tiene esta propiedad. [3]
Notas
- ↑ Basu (1955)
- ^ Ghosh, malayo; Mukhopadhyay, Nitis; Sen, Pranab Kumar (2011), Estimación secuencial , Serie de Wiley en Probabilidad y estadística, 904 , John Wiley & Sons, p. 80, ISBN 9781118165911,
El siguiente teorema, debido a Basu ... nos ayuda a demostrar la independencia entre ciertos tipos de estadísticas, sin derivar realmente las distribuciones conjunta y marginal de las estadísticas involucradas. Esta es una herramienta muy poderosa y se usa a menudo ...
- ^ Geary, RC (1936). "La distribución de la proporción de" Student "para muestras no normales". Suplemento de la Revista de la Royal Statistical Society . 3 (2): 178–184. doi : 10.2307 / 2983669 . JFM 63.1090.03 . JSTOR 2983669 .
Referencias
- Basu, D. (1955). "Sobre estadísticas independientes de una estadística suficiente completa". Sankhyā . 15 (4): 377–380. JSTOR 25048259 . Señor 0074745 . Zbl 0068.13401 .
- Mukhopadhyay, Nitis (2000). Probabilidad e inferencia estadística . Estadísticas: una serie de libros de texto y monografías. 162 . Florida: CRC Press USA. ISBN 0-8247-0379-0 .
- Boos, Dennis D .; Oliver, Jacqueline M. Hughes (agosto de 1998). "Aplicaciones del teorema de Basu" . El estadístico estadounidense . 52 (3): 218-221. doi : 10.2307 / 2685927 . JSTOR 2685927 . Señor 1650407 .
- Ghosh, Malay (octubre de 2002). "Teorema de Basu con aplicaciones: una revisión personalista". Saṅkhyā: El indio Diario de Estadística, Serie A . 64 (3): 509–531. JSTOR 25051412 . Señor 1985397 .