En matemáticas numéricas, el esquema Beam and Warming o el esquema implícito Beam-Warming introducido en 1978 por Richard M. Beam y RF Warming, [1] [2] es un esquema implícito preciso de segundo orden , utilizado principalmente para resolver ecuaciones hiperbólicas no lineales. Hoy en día no se usa mucho.
Introducción
Este esquema es un esquema ADI no iterativo, factorizado espacialmente, y utiliza Euler implícito para realizar la Integración de tiempo. El algoritmo está en forma delta , linealizado mediante la implementación de una serie de Taylor . Por tanto, se observan como incrementos de las variables conservadas. En esto, se obtiene un algoritmo factorizado eficiente mediante la evaluación de las derivadas cruzadas espaciales explícitamente. Esto permite la derivación directa del esquema y la solución eficiente utilizando este algoritmo computacional. La eficiencia se debe a que, aunque es un esquema de tres niveles de tiempo, solo requiere dos niveles de tiempo de almacenamiento de datos. Esto da como resultado una estabilidad incondicional. Está centrado y necesita del operador de disipación artificial para garantizar la estabilidad numérica. [1]
La forma delta de la ecuación producida tiene la ventajosa propiedad de estabilidad (si existe) independientemente del tamaño del paso de tiempo. [3]
El método
Considere la ecuación de Burgers inviscid en una dimensión
Ecuación de hamburguesas en forma de conservación,
dónde :
Expansión de la serie Taylor
La expansión de:
Esto también se conoce como fórmula trapezoidal .
Tenga en cuenta que para esta ecuación,
Sistema tri-diagonal
Sistema tri-diagonal resultante:
Este sistema resultante de ecuaciones lineales se puede resolver utilizando el algoritmo de matriz tridiagonal modificado , también conocido como el algoritmo de Thomas. [4]
Término de disipación
Bajo la condición de onda de choque, se requiere el término de disipación para ecuaciones hiperbólicas no lineales como esta. Esto se hace para mantener la solución bajo control y mantener la convergencia de la solución.
Este término se agrega explícitamente en el nivel al lado derecho. Esto siempre se usa para cálculos exitosos donde se observan oscilaciones muy frecuentes y deben suprimirse.
Término de suavizado
Si solo se requiere la solución estable, en la ecuación del lado derecho se agrega un término de suavizado de segundo orden en la capa implícita. El otro término en la misma ecuación puede ser de segundo orden porque no tiene influencia en la solución estable si
La adición de término de suavizado aumenta el número de pasos requeridos en tres.
Propiedades
Este esquema se produce combinando la fórmula trapezoidal, linealización, factorización, diferenciación espacial Padt, la propiedad homogénea de los vectores de flujo (cuando corresponda) y la diferenciación espacial híbrida y es más adecuado para sistemas no lineales en forma de ley de conservación. El algoritmo ADI conserva el orden de precisión y la propiedad de estado estable al tiempo que reduce el ancho de banda del sistema de ecuaciones. [5] La estabilidad de la ecuación es
- -estable bajo CFL:
El orden del error de truncamiento es
El resultado es suave con un sobreimpulso considerable (que no crece mucho con el tiempo).
Referencias
- ↑ a b Richard M. Beam, RF Warming (septiembre de 1976). "Un algoritmo implícito de diferencias finitas para sistemas hiperbólicos en forma de ley de conservación". Revista de Física Computacional . 22 (1): 87-110. doi : 10.1016 / 0021-9991 (76) 90110-8 .
- ^ Richard H. Pletcher (2012). Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor, tercera edición . Prensa CRC. ISBN 978-1591690375.
- ^ Chung, TJ (2010). Dinámica de fluidos computacional, 2ª edición . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521769693.
- ^ Lee, Jon (enero de 1992). "Simplificación del esquema implícito de Beam and Warming para flujos compresibles bidimensionales". Revista AIAA . 30 : 266–268. doi : 10.2514 / 3.10908 .