Polinomio de Bernstein

En el campo matemático del análisis numérico , un polinomio de Bernstein es un polinomio que es una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein . La idea lleva el nombre de Sergei Natanovich Bernstein .

Los polinomios en forma de Bernstein fueron utilizados por primera vez por Bernstein en una demostración constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass . Con la llegada de los gráficos por computadora, los polinomios de Bernstein, restringidos al intervalo [0, 1], cobraron importancia en forma de curvas de Bézier .

donde es un coeficiente binomial . Así por ejemplo,${\ Displaystyle {\ tbinom {n} {\ nu}}}$${\ Displaystyle b_ {2,5} (x) = {\ tbinom {5} {2}} x ^ {2} (1-x) ^ {3} = 10x ^ {2} (1-x) ^ { 3}.}$

Los polinomios de base de Bernstein de grado n forman una base para el espacio vectorial de polinomios de grado  n como máximo con coeficientes reales. Una combinación lineal de polinomios de base de Bernstein${\ Displaystyle \ Pi _ {n}}$

se llama polinomio de Bernstein o polinomio en forma de Bernstein de grado  n . ^[1] Los coeficientes se denominan coeficientes de Bernstein o coeficientes de Bézier .${\ Displaystyle \ beta _ {\ nu}}$

${\ Displaystyle b _ {\ nu, n} ^ {(k)} (0) = \ sum _ {\ nu = 0} ^ {n} {\ frac {n!} {(nk)!}} {\ binom {k} {\ nu}} (- 1) ^ {\ nu + k}.}$

Polinomios de Bernstein que se aproximan a una curva

Polinomios de base de Bernstein para combinación de curvas de cuarto grado