Teorema de Bertini

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En matemáticas , el teorema de Bertini es un teorema de existencia y genericidad para secciones de hiperplanos conectados suaves para variedades proyectivas suaves sobre campos algebraicamente cerrados , introducido por Eugenio Bertini . Este es el más simple y amplio de los "teoremas de Bertini" que se aplican a un sistema lineal de divisores ; más simple porque no hay restricción en la característica del campo subyacente, mientras que las extensiones requieren la característica 0. ^{[1] [2]}

Sea X una variedad cuasi-proyectiva suave sobre un campo algebraicamente cerrado, incrustado en un espacio proyectivo . Denotemos el sistema completo de divisores de hiperplanos en . Recuerde que es el espacio dual de y es isomorfo a .${\ estilo de visualización \ mathbf {P} ^ {n}}$${\ estilo de visualización | H |}$${\ estilo de visualización \ mathbf {P} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ estrella}}$${\ estilo de visualización \ mathbf {P} ^ {n}}$${\ estilo de visualización \ mathbf {P} ^ {n}}$

El teorema de Bertini establece que el conjunto de hiperplanos que no contienen X y con intersección suave con X contiene un subconjunto denso abierto del sistema total de divisores . El conjunto en sí es abierto si X es proyectivo. Si , entonces estas intersecciones (llamadas secciones de hiperplano de X ) están conectadas, por lo tanto, son irreducibles.${\ estilo de visualización | H |}$${\ estilo de visualización \ dim (X) \ geq 2}$

Por lo tanto, el teorema afirma que una sección general del hiperplano que no es igual a X es suave, es decir: la propiedad de suavidad es genérica.

Sobre un campo k arbitrario , hay un subconjunto abierto denso del espacio dual cuyos puntos racionales definen hiperplanos secciones suaves de hiperplanos de X. Cuando k es infinito, este subconjunto abierto tiene infinitos puntos racionales y hay infinitas secciones de hiperplano suaves en X.${\ estilo de visualización (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ estrella}}$

Sobre un campo finito, el subconjunto abierto anterior puede no contener puntos racionales y, en general, no hay hiperplanos con intersección suave con X . Sin embargo, si tomamos hipersuperficies de grados suficientemente grandes, entonces se cumple el teorema de Bertini. ^[3]

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