El espacio proyectivo juega un papel central en la geometría algebraica . El objetivo de este artículo es definir la noción en términos de geometría algebraica abstractay describir algunos usos básicos del espacio proyectivo.
Ideales polinomiales homogéneos
Sea k un campo algebraicamente cerrado y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . El álgebra simétrica del espacio vectorial dual V * se llama anillo polinomial en V y se denota por k [ V ]. Es un álgebra graduada naturalmente por el grado de polinomios.
El Nullstellensatz proyectivo establece que, para cualquier ideal homogéneo I que no contenga todos los polinomios de un cierto grado (denominado ideal irrelevante ), el locus cero común de todos los polinomios en I (o Nullstelle ) no es trivial (es decir, el locus cero común contiene más que el único elemento {0}), y, más precisamente, el ideal de polinomios que se desvanecen en que coincide locus con el radical del ideal I .
Esta última afirmación se resume mejor con la fórmula: para cualquier ideal I relevante ,
En particular, los máximos ideales pertinentes, homogéneos de k [ V ] son uno-a-uno con líneas a través del origen de V .
Construcción de esquemas proyectivizados
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k . El esquema de más de k definido por Proj ( k [ V ]) se llama projectivization de V . El n- espacio proyectivo en k es la proyectivización del espacio vectorial.
La definición de la gavilla se realiza sobre la base de conjuntos abiertos de conjuntos abiertos principales D ( P ), donde P varía sobre el conjunto de polinomios homogéneos, estableciendo las secciones
ser el anillo , El componente de grado cero del anillo obtenido por la localización en P . Sus elementos son, por tanto, las funciones racionales con numerador homogéneo y alguna potencia de P como denominador, con el mismo grado que el numerador.
La situación es más clara en una forma lineal que no desaparece φ. La restricción de la gavilla de estructura al conjunto abierto D (φ) se identifica canónicamente [nota 1] con la especificación del esquema afín ( k [ker φ]). Dado que D ( φ ) forman una cubierta abierta de X , se puede pensar que los esquemas proyectivos se obtienen mediante el encolado mediante proyectivización de esquemas afines isomórficos.
Se puede observar que el anillo de secciones globales de este esquema es un campo, lo que implica que el esquema no es afín. Dos conjuntos abiertos se cruzan de forma no trivial: es decir, el esquema es irreducible . Cuando el campo k está algebraicamente cerrado ,es de hecho una variedad abstracta , que además es completa. cf. Glosario de teoría de esquemas
Divisores y roldanas
De hecho, el funtor Proj ofrece más que un simple esquema: en el proceso se define una gavilla en módulos escalonados sobre la gavilla de estructura. Los componentes homogéneos de esta gavilla graduada se indican, el Serre torciendo las gavillas . Todas estas gavillas son, de hecho , haces de líneas . Por la correspondencia entre los divisores Cartier y los haces de líneas, la primera gavilla retorcida es equivalente a divisores de hiperplano.
Dado que el anillo de polinomios es un dominio de factorización único , cualquier ideal primo de altura 1 es principal , lo que muestra que cualquier divisor de Weil es linealmente equivalente a alguna potencia de un divisor de hiperplano. Esta consideración prueba que el grupo Picard de un espacio proyectivo está libre de rango 1. Es decir, y el isomorfismo viene dado por el grado de divisores.
Clasificación de paquetes de vectores
Las poleas invertibles , o haces de líneas , en el espacio proyectivo para k un campo , son exactamente las poleas retorcidas entonces el grupo Picard de es isomorfo a . El isomorfismo viene dado por la primera clase Chern .
El espacio de las secciones locales en un conjunto abierto. del paquete de línea es el espacio de homogénea grado k funciones regulares sobre el cono en V asociado a U . En particular, el espacio de las secciones globales
desaparece si m <0, y consta de constantes en k para m = 0 y de polinomios homogéneos de grado m para m> 0 . (Por lo tanto tiene dimensión).
El teorema de Birkhoff-Grothendieck establece que en la línea proyectiva, cualquier conjunto de vectores se divide de una manera única como una suma directa de los conjuntos de líneas.
Paquetes de líneas importantes
El haz tautológico , que aparece, por ejemplo, como el divisor excepcional de la explosión de una punta lisa es la gavilla.. El paquete canónico
- es .
Este hecho se deriva de un enunciado geométrico fundamental sobre los espacios proyectivos: la secuencia de Euler .
La negatividad del paquete de líneas canónicas hace que los espacios proyectivos sean ejemplos principales de las variedades Fano , de manera equivalente, su paquete de líneas anticanónicas es amplio (de hecho, muy amplio). Su índice ( cf. variedades Fano ) viene dado por, y, por un teorema de Kobayashi-Ochiai, los espacios proyectivos se caracterizan entre las variedades Fano por la propiedad
Morfismos a esquemas proyectivos
Como los espacios afines pueden integrarse en espacios proyectivos, todas las variedades afines también pueden integrarse en espacios proyectivos.
Cualquier elección de un sistema finito de secciones globales que no desaparecen simultáneamente de un paquete de líneas generado globalmente define un morfismo en un espacio proyectivo. Un haz de líneas cuya base puede incrustarse en un espacio proyectivo mediante tal morfismo se llama muy amplio .
El grupo de simetrías del espacio proyectivo es el grupo de automorfismos lineales proyectivizados . La elección de un morfismo a un espacio proyectivo modulo la acción de este grupo es, de hecho, equivalente a la elección de una generación a nivel mundial n -dimensional sistema lineal de divisores en una línea paquete en X . La elección de una incrustación proyectivo de X , modulo transformaciones proyectivas es igualmente equivalente a la elección de una muy amplia línea paquete en X .
Un morfismo a un espacio proyectivo define un paquete de líneas generado globalmente por y un sistema lineal
Si el rango del morfismo no está contenido en un divisor de hiperplano, entonces el retroceso es una inyección y el sistema lineal de divisores
- es un sistema lineal de dimensión n .
Un ejemplo: las incrustaciones de Veronese
Las incrustaciones de Veronese son incrustaciones por
Vea la respuesta en MathOverflow para una aplicación de la incrustación de Veronese al cálculo de grupos de cohomología de hipersuperficies proyectivas suaves (divisores suaves).
Curvas en espacios proyectivos
Como variedades Fano, los espacios proyectivos son variedades regidas . La teoría de la intersección de curvas en el plano proyectivo produce el teorema de Bézout .
Ver también
Geometría algebraica general
- Esquema (matemáticas)
- Variedad proyectiva
- Proyecto de construcción
Geometría proyectiva general
- Espacio proyectivo
- Geometría proyectiva
- Polinomio homogéneo
Notas
- ^ En coordenadas esta correspondencia viene dada por
Referencias
- Robin Hartshorne (1977). Geometría algebraica . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
- Ficha de ejercicios [ enlace muerto permanente ] (en francés) sobre espacios proyectivos, en la página de Yves Laszlo.