En geometría algebraica , un sistema lineal de divisores es una generalización algebraica de la noción geométrica de una familia de curvas ; la dimensión del sistema lineal corresponde al número de parámetros de la familia.
Estos surgieron primero en forma de un sistema lineal de curvas algebraicas en el plano proyectivo . Asumió una forma más general, mediante la generalización gradual, de modo que se podría hablar de equivalencia lineal de los divisores D en un esquema general o incluso en un espacio anillado ( X , O X ). [1]
Los sistemas lineales de dimensión 1, 2 o 3 se denominan lápiz , red o red , respectivamente.
Un mapa determinado por un sistema lineal a veces se denomina mapa de Kodaira .
Definición
Dada la idea fundamental de una función racional en una variedad general, o en otras palabras de una función en el campo funcional de, , divisores son divisores linealmente equivalentes si
dónde denota el divisor de ceros y polos de la función .
Tenga en cuenta que si tiene puntos singulares , 'divisor' es inherentemente ambiguo ( divisores de Cartier , divisores de Weil : ver divisor (geometría algebraica) ). La definición en ese caso se suele decir con mayor cuidado (utilizando roldanas invertibles o haces de líneas holomórficas ); vea abajo.
Un sistema lineal completo en se define como el conjunto de todos los divisores efectivos linealmente equivalentes a algún divisor dado . Se denota. Dejar ser el paquete de líneas asociado a . En el caso de que es una variedad proyectiva no singular el conjunto está en biyección natural con [2] [ se necesita más explicación ] y, por lo tanto, es un espacio proyectivo.
Un sistema lineal es entonces un subespacio proyectivo de un sistema lineal completo, por lo que corresponde a un subespacio vectorial W de La dimensión del sistema lineal es su dimensión como espacio proyectivo. Por eso.
Dado que una clase de divisor de Cartier es una clase de isomorfismo de un haz de líneas, los sistemas lineales también se pueden introducir mediante el lenguaje de haz de líneas o de haz invertible , sin referencia alguna a los divisores. En esos términos, los divisores(Los divisores de Cartier , para ser precisos) corresponden a haces de líneas, y la equivalencia lineal de dos divisores significa que los haces de líneas correspondientes son isomorfos.
Ejemplos de
Equivalencia lineal
Considere el paquete de líneas en cuyas secciones definir superficies cuádricas. Para el divisor asociado, es linealmente equivalente a cualquier otro divisor definido por el lugar de fuga de algún usando la función racional [2] (Proposición 7.2). Por ejemplo, el divisor asociado al locus de desaparición de es linealmente equivalente al divisor asociado al locus de desaparición de . Luego, está la equivalencia de divisores
Sistemas lineales sobre curvas
Uno de los importantes sistemas lineales completos en una curva algebraica. de género viene dado por el sistema lineal completo asociado con el divisor canónico , denotado . Esta definición se sigue de la proposición II.7.7 de Hartshorne [2] ya que todo divisor efectivo en el sistema lineal proviene de los ceros de alguna sección de.
Curvas hiperelípticas
Una aplicación de los sistemas lineales se utiliza en la clasificación de curvas algebraicas. Una curva hiperelíptica es una curva. con un grado morfismo . [2] Para el casotodas las curvas son hiperelípticas: el teorema de Riemann-Roch da el grado de es y , por lo tanto hay un grado mapa para .
g r d
A es un sistema lineal en una curva que es de grado y dimensión . Por ejemplo, las curvas hiperelípticas tienen un desde define uno. De hecho, las curvas hiperelípticas tienen una característica única.[2] de la proposición 5.3. Otro conjunto cercano de ejemplos son las curvas con unque se llaman curvas trigonales . De hecho, cualquier curva tiene un por . [3]
Sistemas lineales de hipersuperficies en
Considere el paquete de líneas encima . Si tomamos secciones globales, entonces podemos tomar su proyectivización . Esto es isomorfo a dónde
Luego, usando cualquier incrustación podemos construir un sistema lineal de dimensión .
Sistema lineal de cónicas
Otros ejemplos
El teorema de Cayley-Bacharach es una propiedad de un lápiz de cúbicos, que establece que el lugar geométrico de la base satisface una propiedad "8 implica 9": cualquier cúbico que contenga 8 de los puntos necesariamente contiene el noveno.
Sistemas lineales en geometría biracional
En general, los sistemas lineales se convirtieron en una herramienta básica de la geometría biracional practicada por la escuela italiana de geometría algebraica . Las exigencias técnicas se volvieron bastante estrictas; desarrollos posteriores aclararon una serie de cuestiones. El cálculo de las dimensiones relevantes —el problema de Riemann-Roch, como se le puede llamar— puede expresarse mejor en términos de álgebra homológica . El efecto de trabajar en variedades con puntos singulares es mostrar una diferencia entre los divisores de Weil (en el grupo abeliano libre generado por las subvariedades de codimensión uno) y los divisores de Cartier que provienen de secciones de roldanas invertibles .
A la escuela italiana le gustaba reducir la geometría de una superficie algebraica a la de sistemas lineales recortados por superficies en tres espacios; Zariski escribió su célebre libro Algebraic Surfaces para tratar de unir los métodos, involucrando sistemas lineales con puntos base fijos . Hubo una controversia, una de las cuestiones finales en el conflicto entre 'viejos' y 'nuevos' puntos de vista de la geometría algebraica, sobre Henri Poincaré 's sistema lineal característica de una familia de curvas algebraicas sobre una superficie algebraica.
Locus base
El lugar geométrico base de un sistema lineal de divisores en una variedad se refiere a la subvariedad de puntos "comunes" a todos los divisores del sistema lineal. Geométricamente, esto corresponde a la intersección común de las variedades. Los sistemas lineales pueden tener o no un lugar de base, por ejemplo, el lápiz de líneas afines no tiene intersección común, pero dadas dos cónicas (no degeneradas) en el plano proyectivo complejo, se intersecan en cuatro puntos (contando con multiplicidad) y, por lo tanto, el lápiz que definen tiene estos puntos como lugar de base.
Más precisamente, suponga que es un sistema lineal completo de divisores en alguna variedad . Considere la intersección
dónde denota el apoyo de un divisor, y la intersección se toma sobre todos los divisores efectivos en el sistema lineal. Este es el locus base de(como un conjunto, al menos: puede haber consideraciones más sutiles de la teoría de esquemas en cuanto a lo que la estructura del haz de debiera ser).
Una aplicación de la noción de lugar geométrico de base es la definición de una clase de divisor de Cartier (es decir, sistema lineal completo). Suponer es tal clase en una variedad , y una curva irreductible en . Si no está contenido en el locus base de , entonces existe algún divisor en la clase que no contiene , y así lo cruza correctamente. Los hechos básicos de la teoría de la intersección nos dicen que debemos tener. La conclusión es que para comprobar la nefidad de una clase divisor, basta con calcular el número de intersección con las curvas contenidas en el lugar geométrico base de la clase. Entonces, hablando en términos generales, cuanto más "pequeño" sea el locus base, más "probable" es que la clase sea nef.
En la formulación moderna de la geometría algebraica, un sistema lineal completo de divisores (Cartier) en una variedad se ve como un paquete de líneas en . Desde este punto de vista, el lugar de la base es el conjunto de ceros comunes de todas las secciones de . Una consecuencia simple es que el paquete se genera globalmente si y solo si el locus base está vacío.
La noción del lugar geométrico de la base también tiene sentido para un sistema lineal no completo: el lugar geométrico de la base sigue siendo la intersección de los soportes de todos los divisores efectivos del sistema.
Ejemplo
Considere el lápiz Lefschetz dado por dos secciones genéricas , entonces dado por el esquema
Esto tiene un sistema lineal asociado de divisores ya que cada polinomio, por un fijo es un divisor en . Entonces, el locus base de este sistema de divisores es el esquema dado por el locus de fuga de, entonces
Un mapa determinado por un sistema lineal
Cada sistema lineal en una variedad algebraica determina un morfismo desde el complemento del locus base a un espacio proyectivo de dimensión del sistema, como sigue. (En cierto sentido, lo contrario también es cierto; consulte la sección siguiente)
Sea L un conjunto de líneas en una variedad algebraica X yun subespacio vectorial de dimensión finita. En aras de la claridad, primero consideramos el caso en el que V está libre de puntos base; en otras palabras, el mapa naturales sobreyectiva (aquí, k = el campo base). O equivalente,es sobreyectiva. Por lo tanto, escribiendopara el paquete de vectores trivial y pasando la sobreyección al relativo Proj , hay una inmersión cerrada :
dónde a la derecha está la invariancia del paquete proyectivo bajo una torsión por un paquete de líneas. Siguiendo a i por una proyección, hay resultados en el mapa: [4]
Cuando el lugar geométrico de la base de V no está vacío, la discusión anterior sigue adelante conen la suma directa reemplazada por una gavilla ideal que define el lugar de la base y X reemplazada por la explosiónde la misma a lo largo de la (esquema de teoría) locus de base B . Precisamente, como arriba, hay una sobreyección dónde es la gavilla ideal de B y que da lugar a
Desde un subconjunto abierto de , hay resultados en el mapa:
Finalmente, cuando se elige una base de V , la discusión anterior se vuelve más realista (y ese es el estilo usado en Hartshorne, Geometría Algebraica).
Sistema lineal determinado por un mapa a un espacio proyectivo.
Cada morfismo de una variedad algebraica a un espacio proyectivo determina un sistema lineal libre de puntos de base en la variedad; debido a esto, un sistema lineal sin puntos base y un mapa a un espacio proyectivo se usan a menudo indistintamente.
Para una inmersión cerrada de variedades algebraicas hay un retroceso de un sistema lineal en a , definido como [2] (página 158).
O (1) en una variedad proyectiva
Una variedad proyectiva incrustado en tiene un sistema lineal canónico que determina un mapa al espacio proyectivo desde . Esto envía un punto a su punto correspondiente .
Ver también
- Teoría de Brill-Noether
- Lápiz Lefschetz
- paquete de partes principales
Referencias
- ^ Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean. EGA IV , 21,3.
- ^ a b c d e f Hartshorne, R. 'Geometría algebraica', proposición II.7.2, página 151, proposición II.7.7, página 157, página 158, ejercicio IV.1.7, página 298, proposición IV.5.3, página 342
- ^ Kleiman, Steven L .; Laksov, Dan (1974). "Otra prueba de la existencia de divisores especiales" . Acta Mathematica . 132 : 163-176. doi : 10.1007 / BF02392112 . ISSN 0001-5962 .
- ↑ Fulton , § 4.4.
- P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interscience. pag. 137. ISBN 0-471-05059-8.
- Hartshorne, R. Geometría algebraica , Springer-Verlag , 1977; 6a impresión corregida, 1993. ISBN 0-387-90244-9 .
- Lazarsfeld, R., Positividad en Geometría Algebraica I , Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-22533-1 .