En geometría , específicamente geometría proyectiva , un conjunto de bloqueo es un conjunto de puntos en un plano proyectivo que cada línea interseca y que no contiene una línea completa. El concepto se puede generalizar de varias maneras. En lugar de hablar de puntos y líneas, uno podría tratar con subespacios n -dimensionales y subespacios m -dimensionales, o incluso más generalmente, objetos de tipo 1 y objetos de tipo 2 cuando algún concepto de intersección tiene sentido para estos objetos. Una segunda forma de generalizar sería pasar a entornos más abstractos que la geometría proyectiva. Se puede definir un conjunto de bloqueo de una hipergrafía como un conjunto que se encuentra con todos los bordes de la hipergrafía.
En un plano proyectivo finito π de orden n , un conjunto de bloqueo es un conjunto de puntos de π que cada línea interseca y que no contiene ninguna línea por completo. Bajo esta definición, si B es un conjunto bloqueante, entonces un conjunto complementario de puntos, π\ B también es un conjunto bloqueante. Un conjunto de bloqueo B es mínimo si la eliminación de cualquier punto de B deja un conjunto que no es un conjunto de bloqueo. Un conjunto de bloques de menor tamaño se denomina comité . Cada comité es un conjunto de bloqueo mínimo, pero no todos los conjuntos de bloqueo mínimo son comités. Los conjuntos de bloqueo existen en todos los planos proyectivos excepto en el plano proyectivo más pequeño de orden 2, el plano de Fano .. [1]
A veces es útil descartar la condición de que un conjunto de bloqueo no contenga una línea. Bajo esta definición ampliada, y dado que en un plano proyectivo se encuentran todos los pares de rectas, toda recta sería un conjunto bloqueante. Los conjuntos de bloqueo que contenían líneas se denominarían conjuntos de bloqueo triviales , en este contexto.
En cualquier plano proyectivo de orden n (cada recta contiene n + 1 puntos), los puntos de las rectas que forman un triángulo sin los vértices del triángulo (3( n - 1) puntos) forman un conjunto de bloqueo mínimo (si n = 2 este conjunto de bloqueo es trivial) que en general no es un comité.
Otra construcción general en un plano proyectivo arbitrario de orden n es tomar todos menos un punto, digamos P , en una línea dada y luego un punto en cada una de las otras líneas a través de P , asegurándose de que estos puntos no sean todos colineales (esto la última condición no se puede satisfacer si n = 2.) Esto produce un conjunto de bloqueo mínimo de tamaño 2 n .
Un triángulo proyectivo β de lado m en PG(2, q ) consta de 3( m - 1) puntos, m en cada lado de un triángulo, tal que los vértices A , B y C del triángulo están en β, y el Se cumple la siguiente condición: si el punto P en la línea AB y el punto Q en la línea BC están ambos en β, entonces el punto de intersección de PQ y AC está en β.