El método Bogacki-Shampine es un método para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias , propuesto por Przemysław Bogacki y Lawrence F. Shampine en 1989 ( Bogacki & Shampine 1989 ). El método Bogacki-Shampine es un método de Runge-Kutta de orden tres con cuatro etapas con la propiedad First Same As Last (FSAL), de modo que utiliza aproximadamente tres evaluaciones de función por paso. Tiene un método de segundo orden integrado que se puede utilizar para implementar el tamaño de paso adaptativo . El método Bogacki-Shampine se implementa en la ode23
función en MATLAB ( Shampine & Reichelt 1997 ).
Los métodos de orden inferior son más adecuados que los métodos de orden superior como el método de Dormand-Prince de orden cinco, si sólo se requiere una aproximación burda a la solución. Bogacki y Shampine argumentan que su método supera a otros métodos de tercer orden con un método integrado de segundo orden.
El cuadro de Butcher para el método Bogacki-Shampine es:
0 | |||||
1/2 | 1/2 | ||||
3/4 | 0 | 3/4 | |||
1 | 2/9 | 1/3 | 4/9 | ||
2/9 | 1/3 | 4/9 | 0 | ||
24/7 | 1/4 | 1/3 | 1/8 |
Siguiendo la notación estándar, la ecuación diferencial a resolver es . Además, denota la solución numérica en el momento y es el tamaño del paso, definido por . Luego, un paso del método Bogacki-Shampine viene dado por:
Aquí, es una aproximación de segundo orden a la solución exacta. El método para calcularse debe a Ralston (1965) . Por otro lado, es una aproximación de tercer orden, por lo que la diferencia entre y se puede utilizar para adaptar el tamaño del paso . La propiedad FSAL (primero igual que último) es que el valor de la etapa en un paso es igual a en el siguiente paso; por lo tanto, solo se necesitan tres evaluaciones de funciones por paso.
Referencias
- Bogacki, Przemysław; Shampine, Lawrence F. (1989), "Un par 3 (2) de fórmulas de Runge-Kutta", Letras de matemáticas aplicadas , 2 (4): 321-325, doi : 10.1016 / 0893-9659 (89) 90079-7 , ISSN 0893-9659.
- Ralston, Anthony (1965), Un primer curso en análisis numérico , Nueva York: McGraw-Hill.
- Shampine, Lawrence F .; Reichelt, Mark W. (1997), "The Matlab ODE Suite" (PDF) , SIAM Journal on Scientific Computing , 18 (1): 1–22, doi : 10.1137 / S1064827594276424 , ISSN 1064-8275.