Tamaño de paso adaptativo
En el análisis numérico matemático , en algunos métodos se utiliza un tamaño de paso adaptativo para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (incluido el caso especial de integración numérica ) con el fin de controlar los errores del método y asegurar propiedades de estabilidad como la estabilidad A . El uso de un tamaño de paso adaptativo es de particular importancia cuando hay una gran variación en el tamaño de la derivada. Por ejemplo, al modelar el movimiento de un satélite alrededor de la Tierra como una órbita estándar de Kepler , un método de pasos de tiempo fijo como el método de Eulerpuede ser suficiente. Sin embargo, las cosas son más difíciles si se desea modelar el movimiento de una nave espacial teniendo en cuenta tanto la Tierra como la Luna como en el problema de los Tres cuerpos . Allí, surgen escenarios en los que uno puede tomar grandes pasos de tiempo cuando la nave espacial está lejos de la Tierra y la Luna, pero si la nave espacial se acerca a chocar con uno de los cuerpos planetarios, entonces se necesitan pequeños pasos de tiempo. El método de Romberg y Runge-Kutta-Fehlberg son ejemplos de métodos de integración numérica que utilizan un tamaño de paso adaptativo.
Para simplificar, el siguiente ejemplo utiliza el método de integración más simple, el método de Euler ; en la práctica, se prefieren los métodos de orden superior, como los métodos de Runge-Kutta , debido a sus propiedades superiores de convergencia y estabilidad.
donde y y f pueden denotar vectores (en cuyo caso esta ecuación representa un sistema de EDO acopladas en varias variables).
Se nos da la función f ( t , y ) y las condiciones iniciales ( a , y a ), y nos interesa encontrar la solución en t = b . Sea y ( b ) la solución exacta en b , y sea y b la solución que calculamos. Escribimos , dónde está el error en la solución numérica.
Para una secuencia ( t n ) de valores de t , con t n = a + nh , el método de Euler da aproximaciones a los valores correspondientes de y ( t n ) como
y por el teorema de Taylor , se puede demostrar que (siempre que f sea lo suficientemente suave) el error de truncamiento local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso: