En análisis matemático , el teorema de Bohr-Mollerup es un teorema demostrado por los matemáticos daneses Harald Bohr y Johannes Mollerup . El teorema caracteriza la función gamma , definida para x > 0 por
como la única función f en el intervalo x > 0 que simultáneamente tiene las tres propiedades
- f (1) = 1 , y
- f ( x + 1) = x f ( x ) para x > 0 y
- f es logarítmicamente convexa .
Un tratamiento de este teorema se encuentra en el libro de Artin The Gamma Function , que ha sido reimpreso por AMS en una colección de escritos de Artin.
El teorema se publicó por primera vez en un libro de texto sobre análisis complejo , ya que Bohr y Mollerup pensaron que ya había sido probado.
Declaración
- Teorema de Bohr-Mollerup. Γ ( x ) es la única función que satisface f ( x + 1) = x f ( x ) con log ( f ( x )) convexo y también con f (1) = 1 .
Prueba
Sea Γ ( x ) una función con las propiedades asumidas establecidas anteriormente: Γ ( x + 1) = x Γ ( x ) y log (Γ ( x )) es convexo, y Γ (1) = 1 . De Γ ( x + 1) = x Γ ( x ) podemos establecer
El propósito de la estipulación de que Γ (1) = 1 obliga a la propiedad Γ ( x + 1) = x Γ ( x ) a duplicar los factoriales de los números enteros para que podamos concluir ahora que Γ ( n ) = ( n - 1) ! si n ∈ N y si Γ ( x ) existe. Debido a nuestra relación para Γ ( x + n ) , si podemos entender completamente Γ ( x ) para 0 < x ≤ 1, entonces entendemos Γ ( x ) para todos los valores de x .
La pendiente de una línea que conecta dos puntos ( x 1 , log (Γ ( x 1 ))) y ( x 2 , log (Γ ( x 2 ))) , llamémosla S ( x 1 , x 2 ) , aumenta monótonamente en cada argumento con x 1 < x 2 ya que hemos estipulado que log (Γ ( x )) es convexo. Por lo tanto, sabemos que
Después de simplificar usando las diversas propiedades del logaritmo, y luego exponencializar (lo que conserva las desigualdades ya que la función exponencial aumenta monótonamente) obtenemos
De trabajos anteriores esto se expande a
y entonces
La última línea es una declaración contundente. En particular, es cierto para todos los valores de n . Es decir, Γ ( x ) no es mayor que el lado derecho para cualquier elección de n e igualmente, Γ ( x ) no es menor que el lado izquierdo para cualquier otra elección de n . Cada desigualdad es independiente y puede interpretarse como un enunciado independiente. Debido a este hecho, somos libres de elegir diferentes valores de n para el RHS y el LHS. En particular, si mantenemos n para el RHS y elegimos n + 1 para el LHS obtenemos:
Es evidente a partir de esta última línea que se intercala una función entre dos expresiones, una técnica de análisis común para probar varias cosas, como la existencia de un límite o la convergencia. Sea n → ∞ :
por lo que el lado izquierdo de la última desigualdad se conduce para igualar el lado derecho en el límite y
está intercalado en el medio. Esto solo puede significar que
En el contexto de esta prueba, esto significa que
tiene las tres propiedades especificadas que pertenecen a Γ ( x ) . Además, la demostración proporciona una expresión específica para Γ ( x ) . Y la parte crítica final de la demostración es recordar que el límite de una secuencia es único. Esto significa que para cualquier elección de 0 < x ≤ 1 solo puede existir un número posible Γ ( x ) . Por lo tanto, no hay otra función con todas las propiedades asignadas a Γ ( x ) .
El cabo suelto restante es la cuestión de demostrar que Γ ( x ) tiene sentido para todo x donde
existe. El problema es que nuestra primera doble desigualdad
se construyó con la restricción 0 < x ≤ 1 . Si, digamos, x > 1, entonces el hecho de que S sea monótonamente creciente haría que S ( n + 1, n ) < S ( n + x , n ) , contradice la desigualdad sobre la que se construye toda la prueba. Sin emabargo,
que demuestra cómo arrancar Γ ( x ) a todos los valores de x donde se define el límite.
Ver también
Referencias
- "Teorema de Bohr-Mollerup" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Bohr-Mollerup" . MathWorld .
- "Prueba del teorema de Bohr-Mollerup" . PlanetMath .
- "Prueba alternativa del teorema de Bohr-Mollerup" . PlanetMath .
- Artin, Emil (1964). La función gamma . Holt, Rinehart, Winston.
- Rosen, Michael (2006). Exposición de Emil Artin: una selección . Sociedad Matemática Estadounidense.
- Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhague .( Libro de texto en análisis complejo )