En estadística , el método Holm-Bonferroni , [1] también llamado método Holm o método Bonferroni-Holm , se utiliza para contrarrestar el problema de las comparaciones múltiples . Su objetivo es controlar la tasa de error familiar y ofrece una prueba sencilla uniformemente más potente que la corrección de Bonferroni . Lleva el nombre de Sture Holm , que codificó el método, y Carlo Emilio Bonferroni .
Motivación
Al considerar varias hipótesis, surge el problema de la multiplicidad : cuantas más hipótesis se comprueban, mayor es la probabilidad de obtener errores Tipo I ( falsos positivos ). El método de Holm-Bonferroni es uno de los muchos enfoques para controlar la tasa de error familiar (probabilidad de que ocurran uno o más errores de Tipo I) ajustando los criterios de rechazo para cada una de las hipótesis individuales. [ cita requerida ]
Formulación
El método es como sigue:
- Suponga que tiene valores p, ordenados de menor a mayor , y sus correspondientes hipótesis . Desea que la tasa de error familiar no sea mayor que un cierto nivel de significancia preespecificado .
- Es ? Si es así, rechaza y continúe con el siguiente paso; de lo contrario, SALGA.
- Es ? Si es así, rechaza también, y continúe con el siguiente paso; de lo contrario, EXIT.
- Y así sucesivamente: para cada valor P, pruebe si . Si es así, rechaza y continúe examinando los valores de P mayores; de lo contrario, SALGA.
Este método asegura que la tasa de error familiar.
Razón fundamental
La corrección de Bonferroni simple rechaza solo hipótesis nulas con un valor de p menor que, para asegurar que el riesgo de rechazar una o más hipótesis nulas verdaderas (es decir, de cometer uno o más errores de tipo I) sea como máximo . El costo de esta protección contra errores de tipo I es un mayor riesgo de no rechazar una o más hipótesis nulas falsas (es decir, de cometer uno o más errores de tipo II).
El método Holm-Bonferroni también controla la tasa máxima de error familiar en , pero con un menor aumento del riesgo de error tipo II que el método clásico de Bonferroni. El método de Holm-Bonferroni ordena los valores p de menor a mayor y los compara con los niveles alfa nominales de a (respectivamente), a saber, los valores .
- El índice identifica el primer valor p que no es lo suficientemente bajo para validar el rechazo. Por tanto, las hipótesis nulas son rechazadas, mientras que las hipótesis nulas no son rechazados.
- Si entonces ningún valor de p fue lo suficientemente bajo para el rechazo, por lo tanto, no se rechazan hipótesis nulas.
- Si no existe tal índice se pudo encontrar, entonces todos los valores p eran lo suficientemente bajos para el rechazo, por lo tanto, se rechazan todas las hipótesis nulas (no se acepta ninguna).
Prueba
Holm – Bonferroni controla el FWER de la siguiente manera. Dejar ser una familia de hipótesis, y ser los valores p ordenados. Dejar ser el conjunto de índices correspondientes a las hipótesis nulas verdaderas (desconocidas), teniendo miembros.
Supongamos que rechazamos erróneamente una hipótesis verdadera. Tenemos que demostrar que la probabilidad de este evento es como máximo. Dejarser la primera hipótesis verdadera rechazada (primera en el orden dado por la prueba de Bonferroni-Holm). Luegoson todas falsas hipótesis rechazadas y . A partir de ahí, obtenemos(1). Desde es rechazado tenemos por definición de la prueba. Usando (1), el lado derecho es como máximo. Por lo tanto, si rechazamos erróneamente una hipótesis verdadera, tiene que haber una hipótesis verdadera con valor P como máximo.
Así que definamos la variable aleatoria . Cualquiera que sea el conjunto (desconocido) de hipótesis verdaderas es, tenemos (por las desigualdades de Bonferroni ). Por lo tanto, la probabilidad de rechazar una hipótesis verdadera es como máximo.
Prueba alternativa
El método de Holm-Bonferroni puede verse como un procedimiento de prueba cerrado , [2] con el método de Bonferroni aplicado localmente en cada una de las intersecciones de hipótesis nulas. Como tal, controla la tasa de error familiar para todas las k hipótesis en el nivel α en sentido estricto. Cada intersección se prueba mediante la sencilla prueba de Bonferroni.
Es un procedimiento de atajo ya que prácticamente el número de comparaciones a realizar es igual a o menos, mientras que el número de todas las intersecciones de hipótesis nulas a probar es de orden .
El principio de cierre establece que una hipótesis en una familia de hipótesis es rechazado - mientras se controla la tasa de error familiar de - si y solo si todas las subfamilias de las intersecciones con se controlan al nivel de la tasa de error familiar de .
En el procedimiento Holm-Bonferroni, primero probamos . Si no se rechaza, entonces la intersección de todas las hipótesis nulas no se rechaza también, de modo que exista al menos una hipótesis de intersección para cada una de las hipótesis elementales que no se rechaza, por lo que no rechazamos ninguna de las hipótesis elementales.
Si es rechazado a nivel entonces todas las subfamilias de intersección que lo contienen también son rechazadas, por lo que se rechaza. Esto es porque es el más pequeño en cada una de las subfamilias de intersección y el tamaño de las subfamilias es el más , tal que el umbral de Bonferroni mayor que .
El mismo razonamiento se aplica para . Sin embargo, desde ya rechazada, basta con rechazar todas las subfamilias de intersección de sin . Una vez contiene todas las intersecciones que contiene son rechazados.
Lo mismo se aplica a cada .
Ejemplo
Considere cuatro hipótesis nulas con valores p no ajustados , , y , para ser probado a nivel de significancia . Dado que el procedimiento es gradual, primero probamos, que tiene el valor p más pequeño . El valor p se compara con, se rechaza la hipótesis nula y pasamos a la siguiente. Desde rechazamos también y continuar. La siguiente hipótesis no se rechaza ya que . Dejamos de probar y concluimos que y son rechazados y y no se rechazan mientras se controla la tasa de error familiar a nivel . Tenga en cuenta que aunque aplica, se no rechazada. Esto se debe a que el procedimiento de prueba se detiene una vez que se produce una falla en el rechazo.
Extensiones
Método Holm – Šidák
Cuando las pruebas de hipótesis no son negativamente dependientes, es posible reemplazar con:
resultando en una prueba un poco más potente.
Versión ponderada
Dejar ser los valores p ordenados no ajustados. Dejar, corresponden a las . Rechazar Mientras
Ajustados p -valores
Los valores p ajustados para el método de Holm-Bonferroni son:
En el ejemplo anterior, los valores p ajustados son, , y . Solo hipótesis y son rechazados a nivel .
Los valores p ajustados ponderados son: [ cita requerida ]
Una hipótesis se rechaza en el nivel α si y solo si su valor p ajustado es menor que α. En el ejemplo anterior usando pesos iguales, los valores p ajustados son 0.03, 0.06, 0.06 y 0.02. Esta es otra forma de ver que usando α = 0.05, este procedimiento solo rechaza las hipótesis uno y cuatro.
Alternativas y uso
El método Holm-Bonferroni es "uniformemente" más poderoso que la corrección clásica de Bonferroni , lo que significa que siempre es al menos igual de poderoso.
Hay otros métodos para controlar la tasa de error familiar que son más poderosos que Holm-Bonferroni. Por ejemplo, en el procedimiento de Hochberg , el rechazo dese hace después de encontrar el índice máximo tal que . Por lo tanto, el procedimiento de Hochberg es uniformemente más poderoso que el procedimiento de Holm. Sin embargo, el procedimiento de Hochberg requiere que las hipótesis sean independientes o bajo ciertas formas de dependencia positiva, mientras que Holm-Bonferroni puede aplicarse sin tales supuestos. Un procedimiento escalonado similar es el procedimiento de Hommel, que es uniformemente más poderoso que el procedimiento de Hochberg. [3]
Nombrar
Carlo Emilio Bonferroni no participó en la invención del método aquí descrito. Holm originalmente llamó al método la "prueba de Bonferroni secuencialmente rechazada", y se conoció como Holm-Bonferroni solo después de algún tiempo. Los motivos de Holm para nombrar su método en honor a Bonferroni se explican en el artículo original: "El uso de la desigualdad de Boole dentro de la teoría de inferencia múltiple se suele llamar técnica de Bonferroni, y por esta razón llamaremos a nuestra prueba la prueba de Bonferroni secuencialmente rechazada".
Referencias
- ^ Holm, S. (1979). "Un procedimiento de prueba múltiple secuencialmente rechazo simple". Revista Escandinava de Estadística . 6 (2): 65–70. JSTOR 4615733 . Señor 0538597 .
- ^ Marcus, R .; Peritz, E .; Gabriel, KR (1976). "Sobre procedimientos de prueba cerrados con especial referencia al análisis ordenado de varianza". Biometrika . 63 (3): 655–660. doi : 10.1093 / biomet / 63.3.655 .
- ^ Hommel, G. (1988). "Un procedimiento de prueba múltiple de rechazo por etapas basado en una prueba de Bonferroni modificada". Biometrika . 75 (2): 383–386. doi : 10.1093 / biomet / 75.2.383 . hdl : 2027,42 / 149272 . ISSN 0006-3444 .