Cálculo diferencial booleano

un campo temático de álgebra booleana que discute cambios de variables y funciones booleanas

El cálculo diferencial booleano ( BDC ) (alemán: Boolescher Differentialkalkül ( BDK )) es un campo temático del álgebra booleana que analiza los cambios de las variables booleanas y las funciones booleanas .

Los conceptos de cálculo diferencial booleano son análogos a los del cálculo diferencial clásico , estudiando notablemente los cambios en funciones y variables con respecto a otro / otros. ^[1]

El cálculo diferencial booleano permite varios aspectos de la teoría de sistemas dinámicos como

• teoría de autómatas sobre autómatas finitos
• Teoría de la red de Petri ^[2]
• teoría del control supervisor (SCT)

para ser discutido en forma unida y cerrada, con sus ventajas individuales combinadas.

Historia y aplicaciones

Originalmente inspirado por el diseño y prueba de circuitos de conmutación y la utilización de códigos de corrección de errores en ingeniería eléctrica , las raíces para el desarrollo de lo que luego evolucionaría en el cálculo diferencial booleano fueron iniciadas por trabajos de Irving S. Reed , ^[3] David E. Muller , ^[4] David A. Huffman , ^[5] Sheldon B. Akers Jr. ^[6] y AD Talantsev ( AD Talancev , А. Д. Таланцев ) ^[7] entre 1954 y 1959, y de Frederick F . Sellers Jr. , ^[8][9] Mu-Yue Hsiao ^{[8] [9]} y Leroy W. Bearnson ^{[8] [9]} en 1968.

Desde entonces, se lograron avances significativos tanto en la teoría como en la aplicación del BDC en el diseño de circuitos de conmutación y síntesis lógica .

Las obras de André Thayse , ^{[10] [11] [12] [13] [14]} Marc Davio ^{[11] [12] [13]} y Jean-Pierre Deschamps ^[13] en la década de 1970 formaron los fundamentos de BDC en los que Dieter Bochmann  [ de ] , ^[15] Christian Posthoff ^[15] y Bernd Steinbach  [ de ] ^[16] desarrollaron posteriormente BDC en una teoría matemática autónoma.

También se ha desarrollado una teoría complementaria del cálculo integral booleano (alemán: Boolescher Integralkalkül ). ^{[15] [17]}

BDC también ha encontrado usos en sistemas dinámicos de eventos discretos (DEDS) ^[18] en protocolos de comunicación de redes digitales .

Mientras tanto, BDC ha visto extensiones a funciones y variables de valores múltiples ^{[15] [19] [20]} , así como a redes de funciones booleanas. ^{[21] [22]}

Visión general

Los operadores diferenciales booleanos juegan un papel importante en BDC. Permiten extender la aplicación de los diferenciales conocidos del análisis clásico a funciones lógicas.

Los diferenciales de una variable booleana modelan la relación:${\displaystyle dx_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle dx_{i}={\begin{cases}0,&{\text{no change of }}x_{i}\\1,&{\text{change of }}x_{i}\end{cases}}}$

No existen limitaciones en cuanto a la naturaleza, las causas y las consecuencias de un cambio.

Los diferenciales son binarios. Pueden usarse como variables binarias comunes.${\displaystyle dx_{i}}$

Ver también

• Álgebra de Boole
• Teorema de expansión de Boole
• Marco de Ramadge-Wonham

Referencias

1. H. Wehlan, Álgebra booleana en Enciclopedia de matemáticas
2. Scheuring, Rainer; Wehlan, Herbert "Hans" (1 de diciembre de 1991) [julio de 1991]. Bretthauer, Georg (ed.). "Der Boolesche Differentialkalkül - eine Methode zur Analyze und Synthese von Petri-Netzen" [El cálculo diferencial booleano - Un método para el análisis y síntesis de redes de Petri]. en - Automatisierungstechnik - Methoden und Anwendungen der Steuerungs-, Regelungs- und Informationstechnik (en alemán). Stuttgart, Alemania: R. Oldenbourg Verlag  [ de ] . 39 (7): 226–233. doi : 10.1524 / auto.1991.39.112.226 . ISSN  0178-2312 . Archivado desde el original el 16 de octubre de 2017.. Consultado el 16 de octubre de 2017 . (8 páginas)
3. Reed, Irving Stoy (1954). "Una clase de códigos de corrección de errores múltiples y el esquema de decodificación". Transacciones del Grupo Profesional IRE de Teoría de la Información (PGIT) . Instituto de Ingenieros de Radio (IRE). PGIT-4 (4): 38–49. (12 páginas)
4. Muller, David Eugene (1954). "Aplicación del álgebra de Boole al diseño de circuitos de conmutación y detección de errores". Transacciones del Grupo Profesional IRE de Computadoras Electrónicas (PGEC) . PGEC-3: 6–12. (7 páginas)
5. Huffman, David Albert (15 de enero de 1958). "Criterio de solubilidad para ecuaciones lógicas simultáneas". Informe de progreso trimestral . Cambridge, MA, EE.UU .: Laboratorio de investigación de electrónica del MIT (48): 87–88. 156-161 d.C. (2 páginas)
6. Akers Jr., Sheldon Buckingham (diciembre de 1959) [27 de septiembre de 1957 (presentación), 28 de mayo de 1959 (revisión)]. "Sobre una teoría de funciones booleanas". Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada (SIAM). 7 (4): 487–498. doi : 10.1137 / 0107041 . ISSN 0368-4245 .  (12 páginas)
7. Таланцев [Talantsev], А. Д. [AD] (1959) [1958-11-01 (presentación)]. "Ob analize i sinteze nekotorykh električeskikh skhem pri pomośći special'nykh logičeskikh operatorov"б анализе и синтезе некоторых электрических схем при помощи специальных логических операторов[Análisis y síntesis de determinados circuitos eléctricos mediante operadores lógicos especiales]. Автоматика и телемеханика ( Avtomatika i telemekhanika ) [ Automatización y control remoto ] (en ruso). Moscú, Rusia. 20 (7): 898–907. Mi at12783 . Archivado desde el original el 17 de octubre de 2017 . Consultado el 17 de octubre de 2017 . […] Основное содержание статьи доложено на семинаре по техническим приложениям математической Ггикой 195 и 16/1 1959 […] Автор считает своим долгом выразить признательность В. А. Трапезникову  [ ru ] , В. И. Шестакову и М. Л. Цетлину за интерес к работе и ценные замечания при обсуждении результатов. […] [[…] El contenido principal del artículo fue presentado en el taller de aplicación técnica sobre lógica matemática en la Universidad Estatal de Moscú el 2 de octubre de 1958 y el 16 de enero de 1959 […] El autor considera que es su deber expresar agradecimiento a VA Trapeznikov  [ ru ] , VI Shestakov y ML Tsetlin por su interés en el trabajo y sus valiosos comentarios al discutir los resultados. […]] (10 páginas)
8. Vendedores Jr., Frederick F .; Hsiao, Mu-Yue; Bearnson, Leroy W. (julio de 1968). "Análisis de errores con la diferencia booleana". Transacciones IEEE en computadoras . C-17 (7): 676–683. doi : 10.1109 / TC.1968.227417 . ISSN 0018-9340 .  (8 páginas)
9. Vendedores Jr., Frederick F .; Hsiao, Mu-Yue; Bearnson, Leroy W. (noviembre de 1968). Lógica de detección de errores para computadoras digitales (1ª ed.). Nueva York, Estados Unidos: McGraw-Hill Book Company . págs. 17–37. LCCN 68-16491 . OCLC 439460 .   (21 de xviii + 295 páginas)
10. Thayse, André (octubre de 1970) [mayo de 1970]. "Análisis transitorio de redes lógicas aplicado a la detección de peligros" (PDF) . Informes de investigación de Philips . Bruselas, Bélgica: Laboratorio de Investigación Philips . 25 (5): 261–336. R737. Archivado desde el original (PDF) el 8 de marzo de 2017 . Consultado el 17 de octubre de 2017 . […] El autor está en deuda con el Dr. M. Davio por su continuo interés y comentarios sobre este trabajo. También debemos agradecer al Sr. C. Fosséprez, quien inicialmente sugirió el problema básico aquí considerado. […] (76 páginas)
11. Thayse, André (febrero de 1971). "Cálculo diferencial booleano" (PDF) . Informes de investigación de Philips . Bruselas, Bélgica: Laboratorio de Investigación Philips . 26 (2): 229–246. R764. Archivado desde el original (PDF) el 8 de marzo de 2017 . Consultado el 16 de octubre de 2017 . […] Resumen: Después de un breve esbozo de conceptos clásicos relativos al cálculo diferencial booleano, se emprende un estudio teórico de varios operadores diferenciales. Se menciona la aplicación de estos conceptos a varios problemas importantes que surgen en la práctica del cambio. […] Agradecimiento: El autor está especialmente agradecido al Dr. M. Davio por su aliento y apoyo y por varias ideas en la presentación. […] (18 páginas)
12. Thayse, André; Davio, Marc (1 de abril de 1973). "Cálculo diferencial booleano y su aplicación a la teoría de la conmutación". Transacciones IEEE en computadoras . C-22 (4): 409–420. doi : 10.1109 / TC.1973.223729 . (12 páginas)
13. Davio, Marc; Deschamps, Jean-Pierre; Thayse, André (1 de agosto de 1978). Funciones discretas y de conmutación (1ª ed.). Nueva York, Estados Unidos: Georgi Publishing Company / McGraw-Hill International Book Company . ISBN 0-07-015509-7. LCCN  77-030718 . (xx + 729 páginas)
14. Thayse, André (1981). Goos, Gerhard ; Hartmanis, Juris (eds.). Cálculo booleano de diferencias . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 101 (1ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-10286-8. (144 páginas)
15. Bochmann, Dieter ; Posthoff, Christian (1981). Binäre dynamische Systeme [ Sistemas dinámicos binarios ] (en alemán) (1ª ed.). Akademie-Verlag , Berlín / R. Oldenbourg Verlag  [ de ] , München. ISBN 3-486-25071-X. DNB-IDN 810757168 , 810200317 . Número de licencia  [ de ] : 202.100 / 408/81. Código de pedido: 7623619 (6391). (397 páginas) (NB. Según DNB-IDN 368893146, se publicó una traducción al ruso de este trabajo en 1986). 
16. Bochmann, Dieter ; Steinbach, Bernd (1991). Logikentwurf mit XBOOLE - Algorithmen und Program [ Diseño lógico con XBOOLE - Algoritmos y programas ] (en alemán) (1ª ed.). Berlín, Alemania: Verlag Technik  [ de ] . ISBN 3-341-01006-8. DNB-IDN 911196102 .  (303 páginas + disquete de 5,25 pulgadas)
17. Steinbach, Bernd ; Posthoff, Christian (1 de julio de 2013). Thornton, Mitchell A. (ed.). Ecuaciones diferenciales booleanas . Conferencias de síntesis sobre circuitos y sistemas digitales (1ª ed.). San Rafael, CA, EE.UU .: Morgan & Claypool Publishers. doi : 10.2200 / S00511ED1V01Y201305DCS042 . ISBN 978-1-62705-241-2. Conferencia # 42. (158 páginas)
18. Scheuring, Rainer; Wehlan, Herbert "Hans" (1 de septiembre de 1991). Franke, Dieter; Kraus, Franta (eds.). "Sobre el diseño de sistemas dinámicos de eventos discretos mediante el cálculo diferencial booleano". Primer Simposio de la IFAC sobre métodos de diseño de sistemas de control . Zúrich, Suiza: Federación Internacional de Control Automático (IFAC) / Pergamon Press . 2 : 723–728. doi : 10.1016 / S1474-6670 (17) 54214-7 . (6 páginas)
19. Ânuškevič [Yanushkevich], Svitlana N. [Svetlana N.] (1998). Cálculo diferencial lógico en diseño lógico multivalor . Journal Prace Naukowe Politechniki Szczecińskiej (tesis doctoral) (1ª ed.). Szczecin, Polonia: Instytut Informatyki, Universidad Técnica de Szczecin. ISBN 978-8-387423-16-2. ISSN  1506-3054 . ISBN 8-387423-16-5 .  (326 páginas)
20. Bochmann, Dieter ( septiembre de 2008 ). Sistemas binarios: un libro booleano (1ª ed.). Dresde, Alemania: TUDpress Verlag der Wissenschaften. ISBN 978-3-940046-87-1. DNB-IDN 989771636 . (421 páginas) Traducción de: Bochmann, Dieter (febrero de 2006). Binäre Systeme - Ein BOOLEAN Buch [ Sistemas binarios - Un libro booleano ] (en alemán) (1ª ed.). Hagen, Alemania: LiLoLe-Verlag GmbH (aprendizaje permanente) / BoD GmbH. ISBN 3-934447-10-4. ISBN 978-3-934447-10-3 . DNB-IDN 978899873 .   (452 páginas)
21. Steinbach, Bernd ; Posthoff, Christian (2013). "Operaciones derivadas para celosías de funciones booleanas" (PDF) . Actas del taller Reed-Muller 2013 . Toyama, Japón: 110-119. Archivado (PDF) desde el original el 21 de octubre de 2017 . Consultado el 21 de octubre de 2017 . (10 páginas)
22. Steinbach, Bernd ; Posthoff, Christian (7 de junio de 2017). Thornton, Mitchell A. (ed.). Cálculo diferencial booleano . Conferencias de síntesis sobre circuitos y sistemas digitales (1ª ed.). San Rafael, CA, EE.UU .: Morgan & Claypool Publishers. doi : 10.2200 / S00766ED1V01Y201704DCS052 . ISBN 978-1-62705-922-0. Conferencia # 52. (216 páginas)

Otras lecturas

• Davio, Marc; Piret, Philippe M. (julio de 1969). "Les dérivées Booléennes et leur application au diagnostic" [Derivados booleanos y su aplicación y diagnóstico]. Philips Revue (en francés). Bruselas, Bélgica: Laboratorio de investigación Philips , Manufacture Belge de Lampes et de Materiel Electronique (Laboratorio de investigación MBLE). 12 (3): 63–76. (14 páginas)
• Rudeanu, Sergiu (septiembre de 1974). Funciones y ecuaciones booleanas . Compañía editorial de Holanda Septentrional / Compañía editorial estadounidense de Elsevier . ISBN 0-44410520-4. ISBN 0-72042082-2 .  (462 páginas)
• Bochmann, Dieter (1977). "Cálculo diferencial booleano (una encuesta)". Ingeniería Cibernética . Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE). 15 (5): 67–75. ISSN  0013-788X .(9 páginas) Traducción de: Bochmann, Dieter (1977). "[Cálculo diferencial booleano (encuesta)]". Известия Академии наук СССР - Техническая кибернетика (Izvestii︠a︡ Akademii Nauk SSSR - Tekhnicheskai︠a︡ kibernetika) [Actas de la Academia de Ciencias de la Cibernética de Rusia - 13 5 ] (125). (9 páginas)
• Kühnrich, Martin (1986) [31 de julio de 1984 (presentación)]. "Differentialoperatoren über Booleschen Algebren" [Operadores diferenciales en álgebras booleanas]. Zeitschrift für Mathische Logik und Grundlagen der Mathematik (en alemán). Berlín, Alemania (Este). 32 (17-18): 271-288. doi : 10.1002 / malq.19860321703 . # 18. (18 páginas)
• Dresig, Frank (1992). Gruppierung - Theorie und Anwendung in der Logiksynthese [ Agrupación - Teoría y aplicación en síntesis lógica ]. Fortschritt-Berichte VDI . 9 (en alemán). 145 . Düsseldorf, Alemania: VDI-Verlag  [ de ] . ISBN 3-18-144509-6. DNB-IDN 940164671 .  (NB. También: Chemnitz, Technische Universität, Disertación.) (147 páginas)
• Scheuring, Rainer; Wehlan, Herbert "Hans" (1993). "Control de sistemas de eventos discretos mediante el cálculo diferencial booleano". En Balemi, Silvano; Kozák, Petr; Smedinga, Rein (eds.). Sistemas de eventos discretos: modelado y control . Progreso en Teoría de Sistemas y Control (PSCT). 13 . Basilea, Suiza: Birkhäuser Verlag . págs. 79–93. doi : 10.1007 / 978-3-0348-9120-2_7 . (15 páginas)
• Posthoff, Christian; Steinbach, Bernd (4 de febrero de 2004). Funciones y ecuaciones lógicas - Modelos binarios para la informática (1ª ed.). Dordrecht, Países Bajos: Springer Science + Business Media BV doi : 10.1007 / 978-1-4020-2938-7 . ISBN 1-4020-2937-3. OCLC  254106952 . ISBN 978-1-4020-2937-0 .  (392 páginas)
• Steinbach, Bernd ; Posthoff, Christian (12 de febrero de 2009). Funciones y ecuaciones lógicas - Ejemplos y ejercicios (1ª ed.). Dordrecht, Países Bajos: Springer Science + Business Media BV doi : 10.1007 / 978-1-4020-9595-5 . ISBN 978-1-4020-9594-8. LCCN  2008941076 .(xxii + 232 páginas) [1] (NB. Según DNB-IDN 1010457748, esta edición de tapa dura se ha vuelto a publicar como edición de tapa blanda en 2010.) 
• Steinbach, Bernd ; Posthoff, Christian (1 de junio de 2010). "Cálculo diferencial booleano - teoría y aplicaciones" . Revista de nanociencia computacional y teórica . Editores científicos estadounidenses. 7 (6): 933–981. doi : 10.1166 / jctn.2010.1441 . ISSN  1546-1955 . (49 páginas)
• Steinbach, Bernd ; Posthoff, Christian (15 de enero de 2010) [2009]. "Capítulo 3: cálculo diferencial booleano". En Sasao, Tsutomu; Mayordomo, Jon T. (eds.). Progreso en aplicaciones de funciones booleanas . Conferencias de síntesis sobre circuitos y sistemas digitales (1ª ed.). San Rafael, CA, EE.UU .: Morgan & Claypool Publishers. págs.  55 –78, 121–126. doi : 10.2200 / S00243ED1V01Y200912DCS026 . ISBN 978-1-60845-181-4. Conferencia # 26. (24 de 153 páginas)

enlaces externos

• Wehlan, Herbert "Hans" (6 de diciembre de 2010). Hazewinkel, Michiel (ed.). Cálculo diferencial booleano . Enciclopedia de Matemáticas . Springer Science + Business Media . ISBN 978-1-4020-0609-8. Archivado desde el original el 16 de octubre de 2017 . Consultado el 16 de octubre de 2017 .
• Institut für Informatik (IfI) (2017). "XBOOLE" . TU Bergakademie Freiberg . Archivado desde el original el 31 de octubre de 2017 . Consultado el 31 de octubre de 2017 .con "XBOOLE Monitor" . 2008-07-23. Archivado desde el original el 31 de octubre de 2017 . Consultado el 31 de octubre de 2017 .