La distribución de Borel es una distribución de probabilidad discreta , que surge en contextos que incluyen procesos de ramificación y teoría de colas . Lleva el nombre del matemático francés Émile Borel .
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Si el número de descendientes que tiene un organismo está distribuido por Poisson , y si el número medio de descendientes de cada organismo no es mayor que 1, entonces los descendientes de cada individuo finalmente se extinguirán. El número de descendientes que finalmente tiene un individuo en esa situación es una variable aleatoria distribuida según una distribución de Borel.
Definición
Se dice que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución de Borel [1] [2] con parámetro μ ∈ [0,1] si la función de masa de probabilidad de X está dada por
para n = 1, 2, 3 ....
Interpretación del proceso de derivación y ramificación
Si un proceso de ramificación de Galton-Watson tiene una distribución de descendencia común de Poisson con media μ , entonces el número total de individuos en el proceso de ramificación tiene una distribución de Borel con un parámetro μ .
Sea X el número total de individuos en un proceso de ramificación de Galton-Watson. Luego, una correspondencia entre el tamaño total del proceso de ramificación y el tiempo de acierto para un recorrido aleatorio asociado [3] [4] [5] da
donde S n = Y 1 +… + Y n , e Y 1 … Y n son variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica cuya distribución común es la distribución de la descendencia del proceso de ramificación. En el caso de que esta distribución común sea Poisson con media μ , la variable aleatoria S n tiene una distribución de Poisson con media μn , lo que conduce a la función de masa de la distribución de Borel dada anteriormente.
Dado que la m -ésima generación del proceso de ramificación tiene un tamaño medio μ m - 1 , la media de X es
Interpretación de la teoría de colas
En una cola M / D / 1 con tasa de llegada μ y tiempo de servicio común 1, la distribución de un período ocupado típico de la cola es Borel con parámetro μ . [6]
Propiedades
Si P μ ( n ) es la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria de Borel ( μ ), entonces la función de masa P∗
μ( n ) de una muestra sesgada por tamaño de la distribución (es decir, la función de masa proporcional a nP μ ( n )) viene dada por
Aldous y Pitman [7] muestran que
En palabras, esto dice que una variable aleatoria Borel ( μ ) tiene la misma distribución que una variable aleatoria Borel ( μU ) con sesgo de tamaño , donde U tiene la distribución uniforme en [0,1].
Esta relación conduce a varias fórmulas útiles, que incluyen
Distribución de Borel-Tanner
La distribución de Borel-Tanner generaliza la distribución de Borel. Sea k un número entero positivo. Si X 1 , X 2 ,… X k son independientes y cada uno tiene una distribución de Borel con el parámetro μ , entonces se dice que su suma W = X 1 + X 2 +… + X k tiene una distribución de Borel-Tanner con los parámetros μ y k . [2] [6] [8] Esto da la distribución del número total de individuos en un proceso de Poisson-Galton-Watson comenzando con k individuos en la primera generación, o del tiempo que toma una cola M / D / 1 para vacío comenzando con k trabajos en la cola. El caso k = 1 es simplemente la distribución de Borel anterior.
Generalizando la correspondencia de caminata aleatoria dada anteriormente para k = 1, [4] [5]
donde S n tiene distribución de Poisson con media nμ . Como resultado, la función de masa de probabilidad está dada por
para n = k , k + 1, ....
Referencias
- ^ Borel, Émile (1942). "Sur l'emploi du théorème de Bernoulli pour faciliter le calcul d'une infinité de coefficients. Application au problème de l'attente à un guichet". CR Acad. Sci. 214 : 452–456.
- ^ a b Tanner, JC (1961). "Una derivación de la distribución de Borel". Biometrika . 48 (1–2): 222–224. doi : 10.1093 / biomet / 48.1-2.222 . JSTOR 2333154 .
- ^ Nutria, R. (1949). "El proceso multiplicativo" . Los Anales de Estadística Matemática . 20 (2): 206–224. doi : 10.1214 / aoms / 1177730031 .
- ^ a b Dwass, Meyer (1969). "La progenie total en un proceso de ramificación y un paseo aleatorio relacionado". Revista de probabilidad aplicada . 6 (3): 682–686. doi : 10.2307 / 3212112 . JSTOR 3212112 .
- ^ a b Pitman, Jim (1997). "Enumeraciones de árboles y bosques relacionados con procesos de ramificación y paseos aleatorios" (PDF) . Microencuestas en Probabilidad Discreta: Taller DIMACS (41).
- ^ a b Haight, FA; Breuer, MA (1960). "La distribución Borel-Tanner". Biometrika . 47 (1–2): 143–150. doi : 10.1093 / biomet / 47.1-2.143 . JSTOR 2332966 .
- ^ Aldous, D .; Pitman, J. (1998). "Cadenas de Markov valoradas en árboles derivadas de los procesos de Galton-Watson" (PDF) . Annales de l'Institut Henri Poincaré B . 34 (5): 637. Código Bibliográfico : 1998AIHPB..34..637A . CiteSeerX 10.1.1.30.9545 . doi : 10.1016 / S0246-0203 (98) 80003-4 .
- ^ Tanner, JC (1953). "Un problema de interferencia entre dos colas". Biometrika . 40 (1–2): 58–69. doi : 10.1093 / biomet / 40.1-2.58 . JSTOR 2333097 .
enlaces externos
- Distribución de Borel-Tanner en Mathematica.