En matemáticas , el soporte de una función de valor real f es el subconjunto del dominio que contiene los elementos que no están mapeados a cero. Si el dominio de f es un espacio topológico , el soporte de f se define en cambio como el conjunto cerrado más pequeño que contiene todos los puntos no asignados a cero. Este concepto se utiliza mucho en el análisis matemático .
Formulación
Supongamos que f : X → R es una función real cuyo dominio es un conjunto arbitrario X . El soporte teórico de conjuntos de f , escrito sup ( f ) , es el conjunto de puntos en X donde f no es cero:
El soporte de f es el subconjunto más pequeño de X con la propiedad de que f es cero en el complemento del subconjunto. Si f ( x ) = 0 para todos menos un número finito de puntos x en X , entonces se dice que f tiene un soporte finito .
Si el conjunto X tiene una estructura adicional (por ejemplo, una topología), entonces el soporte de f se define de manera análoga como el subconjunto más pequeño de X de un tipo apropiado tal que f desaparece en un sentido apropiado en su complemento. La noción de soporte también se extiende de forma natural a funciones que toman valores en conjuntos más generales que R y a otros objetos, como medidas o distribuciones .
Soporte cerrado
La situación más común ocurre cuando X es un espacio topológico (como la línea real o el espacio euclidiano n- dimensional ) y f : X → R es una función continua real (o compleja ) valorada. En este caso, el soporte de f se define topológicamente como el cierre del subconjunto de X donde f no es cero [1] [2] [3] es decir,
Dado que la intersección de conjuntos cerrados es cerrada, sup ( f ) es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen el apoyo de la teoría de conjuntos de f .
Por ejemplo, si f : R → R es la función definida por
entonces el soporte de f es el intervalo cerrado [−1,1], ya que f no es cero en el intervalo abierto (−1,1) y el cierre de este conjunto es [−1,1].
La noción de soporte cerrado generalmente se aplica a funciones continuas, pero la definición tiene sentido para funciones arbitrarias reales o de valor complejo en un espacio topológico, y algunos autores no requieren que f : X → R (o C ) sea continua. [4]
Soporte compacto
Funciones con soporte compacto en un espacio topológicoson aquellos cuyo soporte cerrado es un subconjunto compacto de. Si es la línea real, o -espacio euclidiano dimensional, entonces una función tiene soporte compacto si y solo si tiene soporte acotado , ya que un subconjunto de es compacto si y solo si está cerrado y acotado.
Por ejemplo, la función definida anteriormente es una función continua con soporte compacto [−1, 1].
La condición de soporte compacto es más fuerte que la condición de desaparecer en el infinito . Por ejemplo, la función definido por
se desvanece en el infinito, ya que como , pero su apoyo no es compacto.
Las funciones suaves de valor real soportadas de forma compacta en un espacio euclidiano se denominan funciones de relieve . Los suavizadores son un caso especial importante de funciones de relieve, ya que se pueden usar en la teoría de la distribución para crear secuencias de funciones suaves que se aproximan a funciones no suaves (generalizadas), mediante convolución .
En buenos casos , las funciones con soporte compacto son densas en el espacio de funciones que se desvanecen en el infinito, pero esta propiedad requiere algún trabajo técnico para justificarla en un ejemplo dado. Como intuición para ejemplos más complejos, y en el lenguaje de los límites , para cualquier, cualquier función en la linea real que se desvanece en el infinito se puede aproximar eligiendo un subconjunto compacto apropiado de tal que
para todos , dónde es la función indicadora de. Cada función continua en un espacio topológico compacto tiene un soporte compacto ya que cada subconjunto cerrado de un espacio compacto es realmente compacto.
Soporte esencial
Si X es un espacio de medida topológica con una medida de Borel μ (como R n , o un subconjunto medible de Lebesgue de R n , equipado con una medida de Lebesgue), entonces normalmente se identifican funciones que son iguales μ en casi todas partes. En ese caso, el apoyo esencial de una función medible f : X → R , escrito supp ess ( f ) , se define como el subconjunto cerrado más pequeño F de X tal que f = 0 μ-casi todas partes fuera F . De manera equivalente, ess supp (f) es el complemento del conjunto abierto más grande en el que f = 0 μ -casi en todas partes [5]
El soporte esencial de una función f depende tanto de la medida μ como de f , y puede ser estrictamente menor que el soporte cerrado. Por ejemplo, si f : [0,1] → R es la función de Dirichlet que es 0 en números irracionales y 1 en números racionales, y [0,1] está equipado con la medida de Lebesgue, entonces el soporte de f es el intervalo completo [0,1], pero el soporte esencial de f está vacío, ya que f es igual en casi todas partes a la función cero.
En el análisis, uno casi siempre quiere usar el soporte esencial de una función, en lugar de su soporte cerrado, cuando los dos conjuntos son diferentes, por lo que ess supp ( f ) a menudo se escribe simplemente como supp ( f ) y se denomina soporte. [5] [6]
Generalización
Si M es un conjunto arbitrario que contiene cero, el concepto de apoyo es inmediatamente generalizable a las funciones f : X → M . El soporte también puede definirse para cualquier estructura algebraica con identidad (como un grupo , monoide o álgebra de composición ), en la que el elemento identidad asume el papel de cero. Por ejemplo, la familia Z N de funciones desde los números naturales hasta los enteros es el conjunto incontable de sucesiones enteras. La subfamilia { f en Z N : f tiene soporte finito} es el conjunto contable de todas las secuencias enteras que tienen sólo un número finito de entradas distintas de cero.
Las funciones de soporte finito se utilizan para definir estructuras algebraicas como anillos de grupo y grupos abelianos libres . [7]
En teoría de la probabilidad y la medida
En la teoría de la probabilidad , el apoyo de una distribución de probabilidad puede pensarse libremente como el cierre del conjunto de valores posibles de una variable aleatoria que tiene esa distribución. Sin embargo, hay algunas sutilezas a considerar cuando se trata de distribuciones generales definidas en un álgebra sigma , en lugar de en un espacio topológico.
Más formalmente, si es una variable aleatoria en luego el apoyo de es el conjunto cerrado más pequeño tal que .
En la práctica, sin embargo, el apoyo de una variable aleatoria discreta a menudo se define como el conjunto y el apoyo de una variable aleatoria continua se define como el conjunto dónde es una función de densidad de probabilidad de(el soporte de la teoría de conjuntos ). [8]
Tenga en cuenta que la palabra soporte puede referirse al logaritmo de la probabilidad de una función de densidad de probabilidad. [9]
Soporte de una distribución
También es posible hablar del soporte de una distribución , como la función delta de Dirac δ ( x ) en la línea real. En ese ejemplo, podemos considerar las funciones de prueba F , que son funciones suaves con soporte sin incluir el punto 0. Dado que δ ( F ) (la distribución δ aplicada como funcional lineal a F ) es 0 para tales funciones, podemos decir que el el soporte de δ es {0} solo. Dado que las medidas (incluidas las medidas de probabilidad ) en la línea real son casos especiales de distribuciones, también podemos hablar del soporte de una medida de la misma manera.
Suponga que f es una distribución y que U es un conjunto abierto en el espacio euclidiano tal que, para todas las funciones de prueba tal que el apoyo de está contenido en U ,. Entonces f se dice a desaparecer en U . Ahora, si f desaparece en una familia arbitraria de conjuntos abiertos, luego para cualquier función de prueba apoyado en , un simple argumento basado en la compacidad del soporte de y una partición de unidad muestra que también. Por tanto, podemos definir el soporte de f como el complemento del conjunto abierto más grande en el que f desaparece. Por ejemplo, el soporte del delta de Dirac es.
Soporte singular
En el análisis de Fourier en particular, es interesante estudiar el soporte singular de una distribución. Esto tiene la interpretación intuitiva como el conjunto de puntos en los que una distribución no funciona correctamente .
Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función escalonada de Heaviside puede, hasta factores constantes, considerarse 1 / x (una función) excepto en x = 0. Si bien x = 0 es claramente un punto especial, es más preciso digamos que la transformada de la distribución tiene soporte singular {0}: no puede expresarse con precisión como una función en relación con funciones de prueba con soporte incluido 0. Puede expresarse como una aplicación de una integral impropia del valor principal de Cauchy .
Para distribuciones en varias variables, los soportes singulares permiten definir conjuntos de frentes de onda y comprender el principio de Huygens en términos de análisis matemático . Los soportes singulares también se pueden utilizar para comprender fenómenos especiales de la teoría de la distribución, como los intentos de 'multiplicar' distribuciones (la cuadratura de la función delta de Dirac falla, esencialmente porque los soportes singulares de las distribuciones que se van a multiplicar deben ser disjuntos).
Familia de apoyos
Henri Cartan definió una noción abstracta de familia de soportes en un espacio topológico X , adecuada para la teoría del haz . Al extender la dualidad de Poincaré a variedades que no son compactas, la idea del "soporte compacto" entra naturalmente en un lado de la dualidad; véase, por ejemplo , la cohomología de Alexander-Spanier .
Bredon, Sheaf Theory (segunda edición, 1997) da estas definiciones. Una familia Φ de subconjuntos cerrados de X es una familia de soportes , si está cerrada hacia abajo y cerrada bajo unión finita . Su extensión es la unión más Φ. Una familia de soportes paracompactantes que satisface además que cualquier Y en Φ es, con la topología del subespacio , un espacio paracompacto ; y tiene algo de Z en Φ que es un barrio . Si X es un espacio localmente compacto , se supone que Hausdorff la familia de todos los subconjuntos compactos satisface las condiciones adicionales, lo que lo hace paracompactificante.
Ver también
- Teorema de convolución de Titchmarsh
- Soporte de un módulo
- Función limitada
Referencias
- ^ Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis, 2ª ed . Nueva York: John Wiley. pag. 132.
- ^ Hörmander, Lars (1990). Ecuaciones diferenciales parciales lineales I, 2ª ed . Berlín: Springer-Verlag. pag. 14.
- ^ Pascucci, Andrea (2011). Métodos PDE y Martingala en la fijación de precios de opciones . Serie Bocconi y Springer. Berlín: Springer-Verlag. pag. 678. doi : 10.1007 / 978-88-470-1781-8 . ISBN 978-88-470-1780-1.
- ^ Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo, 3ª ed . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 38.
- ^ a b Lieb, Elliott ; Pérdida, Michael (2001). Análisis . Estudios de Posgrado en Matemáticas. 14 (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 13. ISBN 978-0821827833.
- ^ De manera similar, se usa el supremo esencial de una función medible en lugar de su supremo.
- ^ Tomasz, Kaczynski (2004). Homología computacional . Mischaikow, Konstantin Michael ,, Mrozek, Marian. Nueva York: Springer. pag. 445. ISBN 9780387215976. OCLC 55897585 .
- ^ Taboga, Marco. "Soporte de una variable aleatoria" . statlect.com . Consultado el 29 de noviembre de 2017 .
- ^ Edwards, AWF (1992). Probabilidad (edición ampliada). Baltimore: Prensa de la Universidad Johns Hopkins. págs. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6.