Integral de Borwein

En matemáticas , una integral de Borwein es una integral cuyas propiedades inusuales fueron presentadas por primera vez por los matemáticos David Borwein y Jonathan Borwein en 2001. ^{[1] Las} integrales de Borwein involucran productos de , donde la función sinc está dada por para no igual a 0, y . ^{[1] [2]}${\displaystyle \mathrm {sinc} (ax)}$${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)=\sin(x)/x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1}$

Estas integrales son notables por exhibir patrones aparentes que eventualmente se rompen. Lo siguiente es un ejemplo.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

Este patrón continúa hasta

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

En el siguiente paso, el patrón obvio falla,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

En general, las integrales similares tienen valor π / 2 siempre que los números 3, 5, 7… se reemplacen por números reales positivos de manera que la suma de sus recíprocos sea menor que 1.

En el ejemplo anterior, 1 / 3 + 1 / 5 + ... + 1 / 13 <1, pero 1 / 3 + 1 / 5 + ... + 1 / 15 > 1.

Con la inclusión del factor adicional , el patrón se mantiene en una serie más larga, ^[3]${\displaystyle 2\cos(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$

pero

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx<{\frac {\pi }{2}}.}$

En este caso, 1 / 3 + 1 / 5 + ... + 1 / 111 <2, pero 1 / 3 + 1 / 5 + ... + 1 / 113 > 2.

La razón por la que la serie original y la extendida se descomponen se ha demostrado con una explicación matemática intuitiva. ^{[4] [5]} En particular, una reformulación de un paseo aleatorio con un argumento de causalidad arroja luz sobre la ruptura de patrones y abre el camino para una serie de generalizaciones. ^[6]

Formula general

Dada una secuencia de números reales distintos de cero , una fórmula general para la integral${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx}$

se puede dar. ^[1] Para enunciar la fórmula, será necesario considerar las sumas que involucran a . En particular, si es una -tupla donde está cada entrada , entonces escribimos , que es una especie de suma alterna de las primeras , y establecemos , que es cualquiera . Con esta notación, el valor de la integral anterior es${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}$

donde

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}$

En el caso de que tengamos .${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$${\displaystyle C_{n}=1}$

Además, si hay un tal que para cada uno tenemos y , lo que significa que es el primer valor cuando la suma parcial de los primeros elementos de la secuencia excede , entonces para cada uno pero${\displaystyle n}$${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle C_{k}=1}$${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$

El primer ejemplo es el caso cuando .${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$

Tenga en cuenta que si entonces y pero , entonces porque , obtenemos que${\displaystyle n=7}$${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

que sigue siendo cierto si eliminamos cualquiera de los productos, pero que

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right)\end{aligned}}}$

que es igual al valor dado anteriormente.

Referencias

1. Borwein, David ; Borwein, Jonathan M. (2001), "Algunas propiedades notables de sinc y las integrales relacionadas", The Ramanujan Journal , 5 (1): 73–89, doi : 10.1023 / A: 1011497229317 , ISSN  1382-4090 , MR  1829810
2. Baillie, Robert (2011). "Diversión con números muy grandes". arXiv : 1105.3943 [ matemáticas.NT ].
3. Hill, Heather M. (septiembre de 2019). Los caminantes aleatorios iluminan un problema de matemáticas (Volumen 72, número 9 ed.). Instituto Americano de Física. págs. 18-19.
4. Schmid, Hanspeter (2014), "Dos integrales curiosas y una prueba gráfica" (PDF) , Elemente der Mathematik , 69 (1): 11-17, doi : 10.4171 / EM / 239 , ISSN 0013-6018  
5. Baez, John (20 de septiembre de 2018). "Patrones que finalmente fallan" . Azimut . Archivado desde el original el 21 de mayo de 2019.
6. Satya Majumdar; Emmanuel Trizac (2019), "Cuando los caminantes aleatorios ayudan a resolver integrales intrigantes", Physical Review Letters , 123 (2): 020201, arXiv : 1906.04545 , Bibcode : 2019arXiv190604545M , doi : 10.1103 / PhysRevLett.123.020201 , ISSN 1079-7114 

enlaces externos

• Patrones que finalmente fallan , 20 de septiembre de 2018
• Desglose , 2 de febrero de 2012
• Patrones ilusorios en matemáticas explicados por ideas en física , 19 de julio de 2019
• (video) Cuando los caminantes aleatorios ayudan a resolver integrales intrigantes 19 de julio de 2019
• (video) Convolución, Transformadas de Fourier e Integrales Sinc 16 de septiembre de 2020