En ingeniería estructural , el modelo de histéresis de Bouc-Wen es uno de los modelos de histéresis más utilizados [1] [2] que se emplean típicamente para describir sistemas de histéresis no lineales . Fue introducido por Robert Bouc [3] [4] y ampliado por Yi-Kwei Wen, [5]quien demostró su versatilidad al producir una variedad de patrones histeréticos. Este modelo es capaz de capturar, en forma analítica, una gama de formas de ciclo histerético que coinciden con el comportamiento de una amplia clase de sistemas histeréticos. Debido a su versatilidad y manejabilidad matemática, el modelo de Bouc-Wen ha ganado popularidad. Se ha extendido y aplicado a una amplia variedad de problemas de ingeniería, incluidos sistemas de múltiples grados de libertad (MDOF), edificios, marcos, respuesta bidireccional y torsional de sistemas histeréticos, continuos bidimensionales y tridimensionales, licuefacción del suelo y aislamiento de la basesistemas. El modelo de Bouc-Wen, sus variantes y extensiones se han utilizado en el control estructural, en particular, en el modelado del comportamiento de amortiguadores magneto-reológicos, dispositivos de aislamiento de base para edificios y otros tipos de dispositivos de amortiguación . También se ha utilizado en el modelado y análisis de estructuras construidas con hormigón armado , acero , mampostería y madera.
Formulación del modelo
Considere la ecuación de movimiento de un sistema de un solo grado de libertad (sdof):
( Ecuación 1 )
aquí, representa la masa, es el desplazamiento, el coeficiente de amortiguamiento viscoso lineal, la fuerza restauradora y la fuerza de excitación mientras que el overdot denota la derivada con respecto al tiempo.
Según el modelo de Bouc-Wen, la fuerza restauradora se expresa como:
( Ecuación 2 )
dónde es la relación de post-rendimiento pre-ceder (elástico) rigidez, es la fuerza de fluencia, el desplazamiento de rendimiento, y un parámetro histerético no observable (generalmente llamado desplazamiento histerético ) que obedece a la siguiente ecuación diferencial no lineal con condición inicial cero (), y que tiene dimensiones de longitud:
( Ecuación 3 )
o simplemente como:
( Ecuación 4 )
dónde denota la función signum , y, , y son cantidades adimensionales que controlan el comportamiento del modelo (recupera la histéresis elastoplástica). Tenga en cuenta que en el artículo original de Wen (1976), [5] se llama , y se llama . Hoy en día, la notación varía de un papel a otro y muy a menudo los lugares de y se intercambian. Aquí se implementa la notación utilizada por Song J. y Der Kiureghian A. (2006) [6] . La fuerza restauradora se puede descomponer en una parte elástica e histerética de la siguiente manera:
( Ecuación 5 )
y
( Ecuación 6 )
por lo tanto, la fuerza de restauración se puede visualizar como dos resortes conectados en paralelo.
Para valores pequeños del parámetro exponencial positivo la transición de la rama elástica a la poselástica es suave, mientras que para valores grandes esa transición es abrupta. Parámetros, y controlar el tamaño y la forma del bucle histerético. Se ha encontrado [7] que los parámetros del modelo de Bouc-Wen son funcionalmente redundantes. La mejor forma de eliminar esta redundancia es configurando.
Wen [5] asumió valores enteros para; sin embargo, todos los valores positivos reales deson admisibles. El parámetro es positivo por supuesto, mientras que los valores admisibles para , es decir , puede derivarse de un análisis termodinámico (Baber y Wen (1981) [8] ).
Definiciones
Algunos términos se definen a continuación:
- Ablandamiento : la pendiente del bucle de histéresis disminuye con el desplazamiento
- Endurecimiento : la pendiente del bucle de histéresis aumenta con el desplazamiento
- Bucles de histéresis pellizcados : bucles más delgados en el medio que en los extremos. El pellizco es una pérdida repentina de rigidez, principalmente causada por el daño y la interacción de los componentes estructurales bajo una gran deformación. Es causada por el cierre (o no cerrado) de grietas y la deformación del refuerzo de compresión antes de cerrar las grietas en elementos de hormigón armado, deslizamiento en juntas atornilladas (en construcciones de acero) y aflojamiento y deslizamiento de las juntas causado por cargas cíclicas previas en estructuras de madera con taco - sujetadores de tipo (por ejemplo, clavos y pernos).
- Degradación de la rigidez : pérdida progresiva de rigidez en cada ciclo de carga
- Degradación de la resistencia : La degradación de la fuerza cuando cíclicamente carga en el mismo nivel de desplazamiento. El término "degradación de la resistencia" es algo engañoso, ya que la degradación de la resistencia sólo puede modelarse si el desplazamiento es la función de entrada.
Energía histerética absorbida
La energía histerética absorbida representa la energía disipada por el sistema histerético y se cuantifica como el área de la fuerza histerética bajo el desplazamiento total; por lo tanto, la energía histerética absorbida (por unidad de masa ) se puede cuantificar como
( Ecuación 7 )
es decir,
( Ecuación 8 )
aquí es la frecuencia pseudo-natural al cuadrado del sistema no lineal; las unidades de esta energía son.
La disipación de energía es una buena medida del daño acumulativo bajo inversiones de estrés; refleja el historial de carga y es paralelo al proceso de evolución del daño. En el modelo de Bouc-Wen-Baber-Noori, esta energía se utiliza para cuantificar la degradación del sistema.
Modificaciones al modelo Bouc – Wen original
Modelo de Bouc – Wen – Baber – Noori
Baber y Wen (1981) [8] y Baber y Noori (1985, 1986) sugirieron una modificación importante del modelo original de Bouc-Wen . [9] [10]
Esta modificación incluyó efectos de degradación de resistencia, rigidez y pellizco, mediante funciones de degradación adecuadas:
( Ecuación 9 )
donde los parámetros , y están asociados (respectivamente) con los efectos de resistencia, rigidez y degradación por pellizco. La, y se definen como funciones linealmente crecientes de la energía histerética absorbida :
( Ecuación 10a )
( Ecuación 10b )
( Ecuación 10c )
La función de pellizco se especifica como:
( Ecuación 11 )
dónde:
( Ecuación 12a )
( Ecuación 12b )
y es el valor máximo de , dada por
( Ecuación 13 )
Observe que los nuevos parámetros incluidos en el modelo son: , , , , , , , , , y . Cuándo, o No se incluye en el modelo degradación de la resistencia, degradación de la rigidez o efecto de pellizco.
Foliente (1993) [11] y Heine (2001) [12] alteraron ligeramente la función de pellizco para modelar sistemas de holgura. Un ejemplo de un sistema de holgura es una estructura de madera donde el desplazamiento ocurre con una rigidez aparentemente nula, ya que el perno de la estructura se presiona contra la madera.
Generalización de dos grados de libertad
Considere un sistema de dos grados de libertad sujeto a excitaciones bidimensionales. Su ecuación de movimiento viene dada por:
dónde y representan las matrices de masa y amortiguación, y son los desplazamientos, y son las excitaciones y y son las fuerzas restauradoras que actúan en dos direcciones ortogonales (perpendiculares), que están dadas por
dónde es la matriz de rigidez inicial, es la relación entre la rigidez postfluencia y la rigidez (elástica) previa al y representan los desplazamientos histeréticos.
Usando esta generalización de dos grados de libertad, Park et al. (1986) [13] representó el comportamiento histerético del sistema mediante:
( Ecuación 14a )
( Ecuación 14b )
Este modelo es adecuado, por ejemplo, para reproducir el comportamiento geométricamente lineal, desacoplado de una columna de hormigón armado con carga biaxial . Software como ETABS y SAP2000 utilizan esta formulación para modelar aisladores de base .
Wang y Wen (2000) [14] intentaron extender el modelo de Park et al. (1986) [13] para incluir casos con diferente agudeza de 'rodilla' (es decir,). Sin embargo, al hacerlo, el modelo propuesto ya no era invariante rotacionalmente (isotrópico). Harvey y Gavin (2014) [15] propusieron una generalización alternativa del modelo de Park-Wen [13] que conservaba la isotropía y aún permitía, a saber.
( Ecuación 14c )
( Ecuación 14d )
Tenga en cuenta que utilizando el cambio de variables: , , , , las ecuaciones Eq. 14 se reduce a la relación histerética uniaxial Eq. 3 con, es decir,
()
ya que esta ecuación es válida para cualquier valor de , el desplazamiento restaurador histerético es isotrópico.
Modificación de Wang y Wen
Wang y Wen (1998) [16] sugirieron la siguiente expresión para explicar la fuerza de restauración máxima asimétrica :
( Ecuación 15 )
dónde es un parámetro adicional, por determinar.
Histéresis asimétrica
Las curvas histeréticas asimétricas aparecen debido a la asimetría de las propiedades mecánicas del elemento ensayado, del movimiento del ciclo impuesto o de ambos. Song y Der Kiureghian (2006) [6] propusieron la siguiente función para modelar esas curvas asimétricas:
( Ecuación 16 )
dónde:
( Ecuación 17a )
y
( Ecuación 17b )
dónde , son seis parámetros que deben determinarse en el proceso de identificación. Sin embargo, según Ikhouane et al. (2008), [17] los coeficientes, y debe establecerse en cero. Aloisio y col. (2020) [18] amplió la formulación presentada por Song y Der Kiureghian (2006) [6] para reproducir fenómenos de pellizco y degradación. Dos parámetros adicionales y conducen a las trayectorias de carga pinzadas, mientras que ocho coeficientes determinan la degradación de la resistencia y la rigidez.
Cálculo de la respuesta, basado en los historiales de tiempo de excitación.
En experimentos controlados por desplazamiento , la historia temporal del desplazamiento y su derivado son conocidos; por lo tanto, el cálculo de la variable histerética y la fuerza de restauración se realiza directamente usando las ecuaciones Eq. 2 y Eq. 3 .
En experimentos controlados por fuerza , Eq. 1 , ec. 2 y Eq. 4 se puede transformar en forma de espacio de estados , usando el cambio de variables, , y como:
( Ecuación 18 )
y se resolvió utilizando, por ejemplo, el método predictor-corrector de Livermore, los métodos de Rosenbrock o el método de Runge-Kutta de 4º / 5º orden . El último método es más eficiente en términos de tiempo computacional; los otros son más lentos, pero proporcionan una respuesta más precisa.
La forma de espacio de estado del modelo de Bouc-Wen-Baber-Noori viene dada por:
( Ecuación 19 )
Esta es una ecuación diferencial ordinaria rígida que se puede resolver, por ejemplo, usando la función ode15 de MATLAB .
Según Heine (2001), [12] el tiempo de cálculo para resolver el modelo y el ruido numérico se reduce considerablemente si tanto la fuerza como el desplazamiento son del mismo orden de magnitud; por ejemplo, las unidades kN y mm son buenas opciones.
Cálculo analítico de la respuesta histerética
La histéresis producida por el modelo de Bouc-Wen es independiente de la frecuencia. Eq. 4 se puede escribir como:
( Ecuación 20 )
dónde dentro de La función sólo sirve como indicador de la dirección del movimiento. La integral indefinida de la ecuación 19 se puede expresar analíticamente en términos de la función hipergeométrica de Gauss. . Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, se mantiene la siguiente relación: [19]
( Ecuación 21 )
dónde, se asume constante para la transición (no necesariamente pequeña) bajo examen, y , son los valores iniciales del desplazamiento y el parámetro histerético, respectivamente. La ecuación 20 se resuelve analíticamente para para valores específicos del parámetro exponencial , es decir, para y . [19] Para valores arbitrarios deLa ecuación 20 se puede resolver de manera eficiente usando, por ejemplo, métodos de tipo bisección, como el método de Brent . [19]
Restricciones e identificación de parámetros
Los parámetros del modelo de Bouc-Wen tienen los siguientes límites , , , , , , , .
Como se señaló anteriormente, Ma et al. (2004) [7] demostró que los parámetros del modelo de Bouc-Wen son funcionalmente redundantes; es decir, existen múltiples vectores de parámetros que producen una respuesta idéntica a partir de una excitación dada. La mejor forma de eliminar esta redundancia es configurando.
Constantinou y Adnane (1987) [20] sugirieron imponer la restricción para reducir el modelo a una formulación con propiedades bien definidas.
Adoptando esas restricciones, los parámetros desconocidos se convierten en: , , , y .
La determinación de los parámetros del modelo utilizando datos experimentales de entrada y salida se puede lograr mediante técnicas de identificación del sistema . Los procedimientos sugeridos en la literatura incluyen:
- Optimización basada en el método de mínimos cuadrados (utilizando métodos de Gauss-Newton, algoritmos evolutivos, algoritmos genéticos, etc.); en este caso, se minimiza la diferencia de error entre los historiales de tiempo o entre las transformadas de Fourier de corta duración de las señales.
- Filtro Kalman extendido , filtro Kalman sin perfume , filtros de partículas
- Evolución diferencial
- Algoritmos genéticos
- Optimización de Enjambre de partículas
- Leyes adaptativas
- Métodos híbridos [21]
Una vez que se ha aplicado un método de identificación para ajustar los parámetros del modelo de Bouc-Wen, el modelo resultante se considera una buena aproximación de histéresis verdadera cuando el error entre los datos experimentales y la salida del modelo es lo suficientemente pequeño (desde un punto de vista práctico ).
Crítica
El modelo histérico de Bouc-Wen ha recibido algunas críticas con respecto a su capacidad para describir con precisión el fenómeno de histéresis en los materiales. Ikhouane y Rodellar (2005) [22] dan una idea sobre el comportamiento del modelo de Bouc-Wen y proporcionan evidencia de que la respuesta del modelo de Bouc-Wen bajo entrada periódica es asintóticamente periódica.
Charalampakis y Koumousis (2009) [23] proponen una modificación en el modelo de Bouc-Wen para eliminar la deriva del desplazamiento, la relajación de la fuerza y el no cierre de los bucles histeréticos cuando el material se somete a trayectos de recarga de descarga cortos que resultan en una violación local del postulado de Drucker o Ilyushin plasticidad.
Referencias
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Otras lecturas
- Ikhouane, Fayçal; Rodellar, José (2007). Sistemas con análisis, identificación y control de histéresis mediante el modelo de Bouc-Wen . Chichester: John Wiley & Sons. ISBN 9780470513194.