Modelos de histéresis son modelos matemáticos capaces de simular el comportamiento no lineal compleja caracterización de los sistemas mecánicos y materiales utilizados en los diferentes campos de la ingeniería, tales como la industria aeroespacial , civiles , y mecánica de ingeniería . Algunos ejemplos de sistemas mecánicos y materiales con comportamiento histerético son:
- materiales, como acero , hormigón armado , madera ;
- elementos estructurales, como acero, hormigón armado o juntas de madera;
- dispositivos, como aisladores sísmicos [1] y amortiguadores.
Los modelos histeréticos pueden tener un desplazamiento generalizado como variable de entrada y una fuerza generalizada como variable de salida, o viceversa. En particular, en los modelos histeréticos independientes de la tasa, la variable de salida no depende de la tasa de variación de la de entrada. [2] [3]
Los modelos histeréticos independientes de la tasa se pueden clasificar en cuatro categorías diferentes según el tipo de ecuación que se debe resolver para calcular la variable de salida:
- Modelos algebraicos;
- Modelos trascendentales;
- Modelos diferenciales;
- Modelos integrales.
Modelos algebraicos
En modelos algebraicos, la variable de salida se calcula resolviendo ecuaciones algebraicas .
Modelo bilineal
Formulación del modelo
En el modelo bilineal formulado por Vaiana et al. (2018), [4] la fuerza generalizada en el tiempo t , que representa la variable de salida, se evalúa en función del desplazamiento generalizado de la siguiente manera:
dónde y son los tres parámetros del modelo que se calibrarán a partir de pruebas experimentales o numéricas, mientras que es el signo de la velocidad generalizada en el tiempo , es decir, . Además,es un parámetro de modelo interno evaluado como:
mientras que es la variable interna:
.
Formas de bucle de histéresis
La Figura 1.1 muestra dos formas de bucle de histéresis diferentes obtenidas mediante la aplicación de un desplazamiento generalizado sinusoidal con amplitud y frecuencia unitarias y simulado mediante la adopción de los parámetros del Modelo Bilineal (BM) enumerados en la Tabla 1.1.
(a) | 10.0 | 1.0 | 0,5 |
(B) | 10.0 | -1,0 | 0,5 |
Código de Matlab
% =============================================== ======================================% Junio 2020% Algoritmo de modelo bilineal% Nicolò Vaiana, Investigador en Mecánica y Dinámica Estructural, PhD % Departamento de Estructuras para Ingeniería y Arquitectura % Universidad de Nápoles Federico II% vía Claudio, 21 - 80124, Napoli% =============================================== ======================================clc ; limpiar todo ; cerrar todo ; %% HISTORIAL DE TIEMPO DE DESPLAZAMIENTO APLICADOdt = 0,001 ; %hora de caminar t = 0 : dt : 1,50 ; %intervalo de tiempo a0 = 1 ; % de amplitud de desplazamiento aplicada fr = 1 ; % de frecuencia de desplazamiento aplicada u = a0 * sin (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : longitud ( t ))); % de vector de desplazamiento aplicado v = 2 * pi * fr * a0 * cos (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : longitud ( t ))); % de vector de velocidad aplicado n = longitud ( u ); % de longitud del vector de desplazamiento aplicado %% 1. AJUSTES INICIALES% 1.1 Establecer los tres parámetros del modeloka = 10,0 ; % parámetro de modelo kb = 1,0 ; % parámetro de modelo f0 = 0,5 ; % parámetro de modelo % 1.2 Calcular los parámetros internos del modelo u0 = f0 / ( ka - kb ); % parámetro de modelo interno % 1.3 Inicializar el vector de fuerza generalizadaf = ceros ( 1 , n ); %% 2. CÁLCULOS EN CADA PASO DE TIEMPOpara i = 2 : n % 2.1 Actualizar la variable del historialuj = ( ka * u ( i - 1 ) + signo ( v ( i )) * f0 - f ( i - 1 )) / ( ka - kb ); % 2.2 Evaluar la fuerza generalizada en el tiempo tsi ( signo ( v ( i )) * uj ) - 2 * u0 < signo ( v ( i )) * u ( i ) && signo ( v ( i )) * u ( i ) < signo ( v ( i )) * uj f ( i ) = ka * ( u ( i ) - uj ) + kb * uj + signo ( v ( i )) * f0 ; demás f ( i ) = kb * u ( i ) + signo ( v ( i )) * f0 ; finalfinal%% GRÁFICOfiguratrama ( u , f , 'k' , 'ancho de línea' , 4 )set ( gca , 'FontSize' , 28 )set ( gca , 'FontName' , 'Times New Roman' )xlabel ( 'desplazamiento generalizado' ), ylabel ( 'fuerza generalizada' ) redAmplía fuera
Modelo asimétrico bilineal
Formulación del modelo
En el modelo bilineal asimétrico formulado por Vaiana et al. (2020), [3] la fuerza generalizada en el tiempo t , que representa la variable de salida, se evalúa en función del desplazamiento generalizado de la siguiente manera:
dónde y son los tres parámetros del modelo del caso de carga (descarga) genérico que se calibrarán a partir de pruebas experimentales o numéricas, mientras que es el signo de la velocidad generalizada en el tiempo , es decir, . Además, es un parámetro de modelo interno evaluado como:
mientras que es la variable interna:
Código de Matlab
% =============================================== ======================================% Febrero 2021% Algoritmo de modelo bilineal asimétrico% Nicolò Vaiana, Investigador en Mecánica y Dinámica Estructural, PhD % Departamento de Estructuras para Ingeniería y Arquitectura % Universidad de Nápoles Federico II% vía Claudio, 21 - 80124, Napoli% =============================================== ======================================clc ; limpiar todo ; cerrar todo ; %% HISTORIAL DE TIEMPO DE DESPLAZAMIENTO APLICADOdt = 0,001 ; %hora de caminar t = 0 : dt : 1,50 ; %intervalo de tiempo a0 = 1 ; % de amplitud de desplazamiento aplicada fr = 1 ; % de frecuencia de desplazamiento aplicada u = a0 * sin (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : longitud ( t ))); % de vector de desplazamiento aplicado v = 2 * pi * fr * a0 * cos (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : longitud ( t ))); % de vector de velocidad aplicado n = longitud ( u ); % de longitud del vector de desplazamiento aplicado %% 1. AJUSTES INICIALES% 1.1 Establecer los seis parámetros del modelokap = 5,0 ; % parámetro de modelo kpb = 0,5 ; % parámetro de modelo f0p = 0,75 ; % parámetro de modelo kam = 15,0 ; % parámetro de modelo kbm = 0,1 ; % parámetro de modelo f0m = 0,25 ; % parámetro de modelo % 1.2 Inicializar el vector de fuerza generalizadaf = ceros ( 1 , n ); %% 2. CÁLCULOS EN CADA PASO DE TIEMPOpara i = 2 : n % 2.1 Actualizar los parámetros del modelo, la variable de historial y el parámetro interno del modelosi v ( i ) > 0 ka = kap ; kb = kbp ; f0 = f0p ; demás ka = kam ; kb = kbm ; f0 = f0m ; finaluj = ( ka * u ( i - 1 ) + signo ( v ( i )) * f0 - f ( i - 1 )) / ( ka - kb ); si v ( i ) > 0 u0 = (( kbp - kbm ) * uj + f0p + f0m ) / ( 2 * ( kap - kbm )); demás u0 = (( kbp - kbp ) * uj + f0p + f0m ) / ( 2 * ( kam - kbp )); final% 2.2 Evaluar la fuerza generalizada en el tiempo tsi ( signo ( v ( i )) * uj ) - 2 * u0 < signo ( v ( i )) * u ( i ) && signo ( v ( i )) * u ( i ) < signo ( v ( i )) * uj f ( i ) = ka * ( u ( i ) - uj ) + kb * uj + signo ( v ( i )) * f0 ; demás f ( i ) = kb * u ( i ) + signo ( v ( i )) * f0 ; finalfinal%% GRÁFICOfiguratrama ( u , f , 'k' , 'ancho de línea' , 4 )set ( gca , 'FontSize' , 28 )set ( gca , 'FontName' , 'Times New Roman' )xlabel ( 'desplazamiento generalizado' ), ylabel ( 'fuerza generalizada' ) redAmplía fuera
Animación
El siguiente gif muestra la respuesta no lineal de un sistema mecánico de un solo grado de libertad (SDOF), con masa unitaria y comportamiento histerético asimétrico independiente de la velocidad, sometido a una fuerza aleatoria externa. Para simular su respuesta, se han utilizado los siguientes parámetros ABM:.
Modelo algebraico de Vaiana et al. (2019)
Formulación del modelo
En el modelo algebraico desarrollado por Vaiana et al. (2019), [5] la fuerza generalizada en el momento, que representa la variable de salida, se evalúa en función del desplazamiento generalizado de la siguiente manera:
dónde , y son los cinco parámetros del modelo que se calibrarán a partir de pruebas experimentales o numéricas, mientras que es el signo de la velocidad generalizada en el tiempo , es decir, . Además,y son dos parámetros internos del modelo evaluados como:
mientras que es la variable interna:
Formas de bucle de histéresis
La Figura 1.2 muestra cuatro formas de bucle de histéresis diferentes obtenidas aplicando un desplazamiento generalizado sinusoidal con amplitud y frecuencia unitarias y simulado mediante la adopción de los parámetros del Modelo Algebraico (AM) enumerados en la Tabla 1.2.
(a) | 10.0 | 1.0 | 10.0 | 0.0 | 0.0 |
(B) | 10.0 | 1.0 | 10.0 | 0,2 | 0,2 |
(C) | 10.0 | 1.0 | 10.0 | −0,2 | −0,2 |
(D) | 10.0 | 1.0 | 10.0 | −1,2 | 1.2 |
Código de Matlab
% =============================================== ======================================% Septiembre 2019% Algoritmo de modelo algebraico% Nicolò Vaiana, Investigador postdoctoral, PhD % Departamento de Estructuras para Ingeniería y Arquitectura % Universidad de Nápoles Federico II% vía Claudio, 21 - 80125, Napoli% =============================================== ======================================clc ; limpiar todo ; cerrar todo ; %% HISTORIAL DE TIEMPO DE DESPLAZAMIENTO APLICADOdt = 0,001 ; %hora de caminar t = 0 : dt : 1,50 ; %intervalo de tiempo a0 = 1 ; % de amplitud de desplazamiento aplicada fr = 1 ; % de frecuencia de desplazamiento aplicada u = a0 * sin (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : longitud ( t ))); % de vector de desplazamiento aplicado v = 2 * pi * fr * a0 * cos (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : longitud ( t ))); % de vector de velocidad aplicado n = longitud ( u ); % de longitud del vector de desplazamiento aplicado %% 1. AJUSTES INICIALES% 1.1 Establecer los cinco parámetros del modeloka = 10,0 ; % parámetro de modelo kb = 1,0 ; % parámetro de modelo alfa = 10,0 ; % parámetro de modelo beta1 = 0.0 ; % parámetro de modelo beta2 = 0.0 ; % parámetro de modelo % 1.2 Calcular los parámetros internos del modelo u0 = ( 1 / 2 ) * (((( ka - kb ) / 10 ^ - 20 ) ^ ( 1 / alfa )) - 1 ); % parámetro de modelo interno f0 = (( ka - kb ) / 2 ) * (((( 1 + 2 * u0 ) ^ ( 1 - alfa )) - 1 ) / ( 1 - alfa )); % parámetro de modelo interno % 1.3 Inicializar el vector de fuerza generalizadaf = ceros ( 1 , n ); %% 2. CÁLCULOS EN CADA PASO DE TIEMPOpara i = 2 : n % 2.1 Actualizar la variable del historialuj = u ( i - 1 ) + signo ( v ( i )) * ( 1 + 2 * u0 ) - signo ( v ( i )) * (((( signo ( v ( i ))) * ( 1 - alfa ) ) / ( ka - kb )) * ( f ( i - 1 ) - beta1 * u ( i - 1 ) ^ 3 - beta2 * u ( i - 1 ) ^ 5 - kb * u ( i - 1 ) - signo ( v ( i )) * f0 + ( ka - kb ) * ((( 1 + 2 * u0 ) ^ ( 1 - alfa )) / ( signo ( v ( i )) * ( 1 - alfa ))))) ^ ( 1 / ( 1 - alfa ))); % 2.2 Evaluar la fuerza generalizada en el tiempo tsi ( signo ( v ( i )) * uj ) - 2 * u0 < signo ( v ( i )) * u ( i ) || signo ( v ( i )) * u ( i ) < signo ( v ( i )) * uj f ( i ) = beta1 * u ( i ) ^ 3 + beta2 * u ( i ) ^ 5 + kb * u ( i ) + ( ka - kb ) * (((( 1 + 2 * u0 + signo ( v ( i )) * ( u ( i ) - uj )) ^ ( 1 - alfa )) / ( signo ( v ( i )) * ( 1 - alfa ))) - ((( 1 + 2 * u0 ) ^ ( 1 - alfa )) / ( signo ( v ( i )) * ( 1 - alfa )))) + signo ( v ( i )) * f0 ; demás f ( i ) = beta1 * u ( i ) ^ 3 + beta2 * u ( i ) ^ 5 + kb * u ( i ) + signo ( v ( i )) * f0 ; finalfinal%% GRÁFICOfiguratrama ( u , f , 'k' , 'ancho de línea' , 4 ) set ( gca , 'FontSize' , 28 ) set ( gca , 'FontName' , 'Times New Roman' ) xlabel ( 'desplazamiento generalizado' ), ylabel ( 'fuerza generalizada' ) redAmplía fuera
Modelos trascendentales
En los modelos trascendentales, la variable de salida se calcula resolviendo ecuaciones trascendentales , es decir, ecuaciones que involucran funciones trigonométricas , trigonométricas inversas , exponenciales , logarítmicas y / o hiperbólicas .
Modelos exponenciales
Modelo exponencial de Vaiana et al. (2018)
Formulación del modelo
En el modelo exponencial desarrollado por Vaiana et al. (2018), [4] la fuerza generalizada en el momento, que representa la variable de salida, se evalúa en función del desplazamiento generalizado de la siguiente manera:
dónde y son los cuatro parámetros del modelo que se calibrarán a partir de pruebas experimentales o numéricas, mientras que es el signo de la velocidad generalizada en el tiempo , es decir, . Además,y son dos parámetros internos del modelo evaluados como:
mientras que es la variable interna:
Formas de bucle de histéresis
La Figura 2.1 muestra cuatro formas de bucle de histéresis diferentes obtenidas aplicando un desplazamiento generalizado sinusoidal con amplitud y frecuencia unitarias y simulado mediante la adopción de los parámetros del Modelo Exponencial (EM) enumerados en la Tabla 2.1.
(a) | 5,0 | 0,5 | 5,0 | 0.0 |
(B) | 5,0 | −0,5 | 5,0 | 0.0 |
(C) | 5,0 | 0,5 | 5,0 | 1.0 |
(D) | 5,0 | 0,5 | 5,0 | −1,0 |
Código de Matlab
% =============================================== ======================================% Septiembre 2019% Algoritmo de modelo exponencial% Nicolò Vaiana, Investigador postdoctoral, PhD % Departamento de Estructuras para Ingeniería y Arquitectura % Universidad de Nápoles Federico II% vía Claudio, 21 - 80125, Napoli% =============================================== ======================================clc ; limpiar todo ; cerrar todo ; %% HISTORIAL DE TIEMPO DE DESPLAZAMIENTO APLICADOdt = 0,001 ; %hora de caminar t = 0 : dt : 1,50 ; %intervalo de tiempo a0 = 1 ; % de amplitud de desplazamiento aplicada fr = 1 ; % de frecuencia de desplazamiento aplicada u = a0 * sin (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : longitud ( t ))); % de vector de desplazamiento aplicado v = 2 * pi * fr * a0 * cos (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : longitud ( t ))); % de vector de velocidad aplicado n = longitud ( u ); % de longitud del vector de desplazamiento aplicado %% 1. AJUSTES INICIALES% 1.1 Establecer los cuatro parámetros del modeloka = 5,0 ; % parámetro de modelo kb = 0,5 ; % parámetro de modelo alfa = 5,0 ; % parámetro de modelo beta = 1.0 ; % parámetro de modelo % 1.2 Calcular los parámetros internos del modelo u0 = - ( 1 / ( 2 * alfa )) * log ( 10 ^ - 20 / ( ka - kb )); % parámetro de modelo interno f0 = (( ka - kb ) / ( 2 * alfa )) * ( 1 - exp ( - 2 * alfa * u0 )); % parámetro de modelo interno % 1.3 Inicializar el vector de fuerza generalizadaf = ceros ( 1 , n ); %% 2. CÁLCULOS EN CADA PASO DE TIEMPOpara i = 2 : n % 2.1 Actualizar la variable del historialuj = u ( i - 1 ) + 2 * u0 * signo ( v ( i )) + signo ( v ( i )) * ( 1 / alfa ) * log ( signo ( v ( i )) * ( alfa / ( ka - kb )) * ( - 2 * beta * u ( i - 1 ) + exp ( beta * u ( i - 1 )) - exp ( - beta * u ( i - 1 )) + kb * u ( i - 1 ) + signo ( v ( i )) * (( ka - kb ) / alfa ) * exp ( - 2 * alfa * u0 ) + signo ( v ( i )) * f0 - f ( i - 1 ))); % 2.2 Evaluar la fuerza generalizada en el tiempo tsi ( signo ( v ( i )) * uj ) - 2 * u0 < signo ( v ( i )) * u ( i ) || signo ( v ( i )) * u ( i ) < signo ( v ( i )) * uj f ( i ) = - 2 * beta * u ( i ) + exp ( beta * u ( i )) - exp ( - beta * u ( i )) + kb * u ( i ) - signo ( v ( i )) * (( ka - kb ) / alfa ) * ( exp ( - alfa * ( signo ( v ( i )) * ( u ( i ) - uj ) + 2 * u0 )) - exp ( - 2 * alfa * u0 ) ) + signo ( v ( i )) * f0 ; demás f ( i ) = - 2 * beta * u ( i ) + exp ( beta * u ( i )) - exp ( - beta * u ( i )) + kb * u ( i ) + signo ( v ( i )) * f0 ; finalfinal%% GRÁFICOfiguratrama ( u , f , 'k' , 'ancho de línea' , 4 ) set ( gca , 'FontSize' , 28 ) set ( gca , 'FontName' , 'Times New Roman' ) xlabel ( 'desplazamiento generalizado' ), ylabel ( 'fuerza generalizada' ) redAmplía fuera
Modelos diferenciales
Modelos integrales
Referencias
- ^ Vaiana, Nicolò; Spizzuoco, Mariacristina; Serino, Giorgio (junio de 2017). "Aisladores de cable de acero para estructuras ligeras aisladas sísmicamente: caracterización experimental y modelado matemático" . Estructuras de ingeniería . 140 : 498–514. doi : 10.1016 / j.engstruct.2017.02.057 .
- ^ Dimian, Mihai; Andrei, Petru (4 de noviembre de 2013). Fenómenos impulsados por ruido en sistemas histeréticos . ISBN 9781461413745.
- ^ a b Vaiana, Nicolò; Sessa, Salvatore; Rosati, Luciano (enero de 2021). "Una clase generalizada de modelos independientes de la tasa uniaxial para simular fenómenos de histéresis mecánica asimétrica" . Sistemas mecánicos y procesamiento de señales . 146 : 106984. doi : 10.1016 / j.ymssp.2020.106984 .
- ^ a b Vaiana, Nicolò; Sessa, Salvatore; Marmo, Francesco; Rosati, Luciano (26 de abril de 2018). "Una clase de modelos fenomenológicos uniaxiales para simular fenómenos histeréticos en materiales y sistemas mecánicos independientes de la velocidad". Dinámica no lineal . 93 (3): 1647–1669. doi : 10.1007 / s11071-018-4282-2 .
- ^ Vaiana, Nicolò; Sessa, Salvatore; Marmo, Francesco; Rosati, Luciano (marzo de 2019). "Un modelo fenomenológico uniaxial preciso y computacionalmente eficiente para cojinetes elastoméricos reforzados con acero y fibra". Estructuras compuestas . 211 : 196–212. doi : 10.1016 / j.compstruct.2018.12.017 .