Superficie incompresible en el límite

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En la topología de baja dimensión , una superficie de límite incompresible es una superficie bidimensional dentro de una variedad tridimensional cuya topología no puede simplificarse mediante un cierto tipo de operación conocida como compresión de límite .

Supongamos que M es una variedad de 3 con límite . Supongamos también que S es una superficie compacta con un límite que está correctamente incrustado en M , lo que significa que el límite de S es un subconjunto del límite de M y los puntos interiores de S son un subconjunto de los puntos interiores de M . Un disco que comprime la frontera para S en M se define como un disco D en M tal que y son arcos en , con , y${\displaystyle D\cap S=\alpha }$${\displaystyle D\cap \parcial M=\beta }$${\ estilo de visualización \ D parcial}$${\displaystyle \alpha \cup \beta =\parcial D}$${\displaystyle \alpha \cap \beta =\parcial \alpha =\parcial \beta}$${\ estilo de visualización \ alfa}$es un arco esencial en S ( no colinda un disco en S con otro arco en ).${\ estilo de visualización \ alfa}$${\ estilo de visualización \ S parcial}$

Se dice que la superficie S es comprimible en la frontera si S es un disco que co-enlaza una bola con un disco o si existe un disco que comprime la frontera para S en M. De lo contrario, S es incompresible en la frontera .${\ estilo de visualización \ parcial M}$

Alternativamente, se puede relajar esta definición eliminando el requisito de que la superficie esté correctamente empotrada. Supongamos ahora que S es una superficie compacta (con límite) incrustada en el límite de una M de 3 variedades . Supongamos además que D es un disco incrustado correctamente en M tal que D corta a S en un arco esencial (uno que no une un disco en S con otro arco en ). Entonces D se llama un disco que comprime la frontera para S en M. Como antes, se dice que S es comprimible en la frontera si S${\ estilo de visualización \ S parcial}$es un disco en o existe un disco que comprime la frontera para S en M . De lo contrario, S es incompresible en la frontera.${\ estilo de visualización \ parcial M}$

Por ejemplo, si K es un nudo de trébol incrustado en el límite de un toroide sólido V y S es el cierre de una pequeña vecindad anular de K en , entonces S no está correctamente incrustado en V ya que el interior de S no está contenido en el interior de V. Sin embargo, S está incrustado y no existe un disco que comprima el límite para S en V , por lo que S es incompresible en el límite según la segunda definición.${\ estilo de visualización \ V parcial}$${\ estilo de visualización \ V parcial}$

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