Nudo de trébol

En la teoría de nudos , una rama de las matemáticas , el nudo de trébol es el ejemplo más simple de un nudo no trivial . El trébol se puede obtener uniendo los dos extremos sueltos de un nudo simple común , lo que da como resultado un lazo anudado . Como nudo más simple, el trébol es fundamental para el estudio de la teoría matemática del nudo.

Trébol

Nombre común	Nudo simple
Arf invariante	1
Longitud de la trenza	3
Trenza no.	2
Puente no.	2
Crosscap no.	1
Cruce no.	3
Género	1
Volumen hiperbólico	0
Stick no.	6
Túnel no.	1
Desanudando no.	1
Notación de Conway	[3]
Notación A – B	3 ₁
Notación Dowker	4, 6, 2
Último / Siguiente	0 ₁ / 4 ₁
Otro
alterna , toro , fibra , pretzel , prima , no rebanada , reversible , tricolorable , giro

El nudo de trébol lleva el nombre de la planta de trébol de tres hojas (o trébol).

Descripciones

El nudo de trébol se puede definir como la curva obtenida de las siguientes ecuaciones paramétricas :

{\ Displaystyle x = \ sin t + 2 \ sin 2t}

{\ Displaystyle y = \ cos t-2 \ cos 2t}

{\ Displaystyle z = - \ sin 3t}

El nudo (2,3) - toro es también un nudo trébol. Las siguientes ecuaciones paramétricas dan un nudo (2,3) -toro apoyado en toro ${\ Displaystyle (r-2) ^ {2} + z ^ {2} = 1}$ :

{\ Displaystyle x = (2+ \ cos 3t) \ cos 2t}

{\ Displaystyle y = (2+ \ cos 3t) \ sin 2t}

{\ Displaystyle z = \ sin 3t}

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Reproducir medios

Video sobre cómo hacer un nudo de trébol

Forma de nudo de trébol sin simetría visual triple

Cualquier deformación continua de la curva anterior también se considera un nudo de trébol. Específicamente, cualquier curva isotópica de un nudo de trébol también se considera un trébol. Además, la imagen especular de un nudo de trébol también se considera un trébol. En topología y teoría de nudos, el trébol generalmente se define mediante un diagrama de nudos en lugar de una ecuación paramétrica explícita.

En geometría algebraica , el trébol también se puede obtener como la intersección en C ² de la unidad 3-esfera S ³ con la curva plana compleja de ceros del polinomio complejo z ² + w ³ (un cúspide cúbico ).

Un trébol para zurdos y un trébol para diestros.

Si un extremo de una cinta o cinturón se gira tres veces y luego se pega al otro, el borde forma un nudo en forma de trébol. ^[1]

Simetría

El nudo de trébol es quiral , en el sentido de que un nudo de trébol se puede distinguir de su propia imagen especular. Las dos variantes resultantes se conocen como el trébol zurdo y el trébol derecho . No es posible deformar un trébol zurdo continuamente en un trébol derecho, o viceversa. (Es decir, los dos tréboles no son isotópicos ambientales).

Aunque quiral, el nudo de trébol también es invertible, lo que significa que no hay distinción entre un antihorario -oriented y un trébol orientada hacia la derecha. Es decir, la quiralidad de un trébol depende solo de los cruces superiores e inferiores, no de la orientación de la curva.

El nudo de trébol es tricolor .

El nudo simple se convierte en un nudo de trébol al unir los extremos.

No trivialidad

El nudo de trébol no es trivial, lo que significa que no es posible "desatar" un nudo de trébol en tres dimensiones sin cortarlo. Matemáticamente, esto significa que un nudo de trébol no es isotópico para el nudo . En particular, no hay una secuencia de movimientos de Reidemeister que desate un trébol.

Probar esto requiere la construcción de un invariante de nudo que distinga el trébol del desanudo. El invariante más simple de este tipo es la tricolorabilidad : el trébol es tricolorable, pero el desanudo no lo es. Además, prácticamente todos los polinomios de nudos principales distinguen el trébol de un anudado, al igual que la mayoría de los demás invariantes de nudos fuertes.

Clasificación

En la teoría del nudo, el trébol es el primer nudo no trivial y es el único nudo con cruce número tres. Es un nudo primo y aparece como 3 ₁ en la notación de Alexander-Briggs . La notación Dowker para el trébol es 4 6 2 y la notación Conway es [3].

El trébol se puede describir como el (2,3) - nudo toro . También es el nudo que se obtiene al cerrar la trenza σ ₁³ .

El trébol es un nudo alterno . Sin embargo, no es un nudo de corte , lo que significa que no une un disco bidimensional liso en la bola de 4 dimensiones; una forma de demostrar esto es observar que su firma no es cero. Otra prueba es que su polinomio de Alexander no satisface la condición de Fox-Milnor .

El trébol es un nudo fibroso , lo que significa que su complemento en ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ es un haz de fibras sobre el círculo ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ . El trébol K puede verse como el conjunto de pares ${\ Displaystyle (z, w)}$ de números complejos tales que ${\ Displaystyle | z | ^ {2} + | w | ^ {2} = 1}$ y ${\ Displaystyle z ^ {2} + w ^ {3} = 0}$ . Entonces este paquete de fibras tiene el mapa de Milnor ${\ Displaystyle \ phi (z, w) = (z ^ {2} + w ^ {3}) / | z ^ {2} + w ^ {3} |}$ como la proyección del haz de fibras del complemento del nudo ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ \ K al círculo ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ . La fibra es un toro una vez perforado . Dado que el complemento de nudos también es un Seifert fibrado con límite, tiene una superficie horizontal incompresible; esta es también la fibra del mapa de Milnor . (Esto supone que el nudo se ha engrosado para convertirse en un toro sólido N _ε ( K ), y que el interior de este toro sólido se ha eliminado para crear un complemento de nudo compacto ${\ Displaystyle S ^ {3}}$ \ int (N _ε ( K )).)

Invariantes

El polinomio de Alexander del nudo del trébol es

{\ Displaystyle \ Delta (t) = t-1 + t ^ {- 1}, \,}

y el polinomio de Conway es

{\ Displaystyle \ nabla (z) = z ^ {2} +1.}

^[2]

El polinomio de Jones es

{\ Displaystyle V (q) = q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}, \,}

y el polinomio de Kauffman del trébol es

{\ Displaystyle L (a, z) = za ^ {5} + z ^ {2} a ^ {4} -a ^ {4} + za ^ {3} + z ^ {2} a ^ {2} - 2a ^ {2}. \,}

El polinomio HOMFLY del trébol es

{\ Displaystyle L (\ alpha, z) = - \ alpha ^ {4} + \ alpha ^ {2} z ^ {2} +2 \ alpha ^ {2}. \,}

El grupo de nudos del trébol viene dado por la presentación

{\ Displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {2} = y ^ {3} \ rangle \,}

o equivalente

{\ Displaystyle \ langle x, y \ mid xyx = yxy \ rangle. \,}

^[3]

Este grupo es isomorfo al grupo de trenzas con tres hebras.

En religión y cultura

Como nudo no trivial más simple, el trébol es un motivo común en la iconografía y las artes visuales . Por ejemplo, la forma común del símbolo triquetra es un trébol, al igual que algunas versiones del Valknut germánico .

Un antiguo colgante nórdico Mjöllnir con tréboles
Un simple símbolo de triquetra
Una triquetra fuertemente anudada
El Valknut germánico
Un Valknut metálico en forma de trébol
Una cruz celta con nudos de trébol
Una cruz carolingia
Nudo de trébol utilizado en el logotipo de aTV
Superficie matemática en la que el límite es el nudo del trébol en diferentes ángulos.

En el arte moderno, el grabado en madera Knots de MC Escher representa tres nudos de trébol cuyas formas sólidas se retuercen de diferentes maneras. ^[4]

Ver también

Enlace de pretzel
Nudo en forma de ocho (matemáticas)
Símbolo triquetra
Nudo cinquefoil
Nudo Gordiano

Referencias

↑ Shaw, George Russell (MCMXXXIII). Nudos: útiles y ornamentales , p.11. ISBN 978-0-517-46000-9 .
^ " 3_1 ", El Atlas del nudo .
^ Weisstein, Eric W. "Nudo de trébol" . MathWorld . Consultado: 5 de mayo de 2013.
^ El sitio web oficial de MC Escher - Galería - "Nudos"

enlaces externos

Wolframalpha: (2,3) -nudo toro
Nudo de trébol modelo 3d

[1] Shaw, George Russell (MCMXXXIII). Nudos: útiles y ornamentales , p.11. ISBN 978-0-517-46000-9 .

[2] " 3_1 ", El Atlas del nudo .

[3] Weisstein, Eric W. "Nudo de trébol" . MathWorld . Consultado: 5 de mayo de 2013.

[4] El sitio web oficial de MC Escher - Galería - "Nudos"

[1]