En el campo matemático de la teoría del orden , un conjunto parcialmente ordenado está acotado completo si todos sus subconjuntos que tienen algún límite superior también tienen un límite superior mínimo . Tal orden parcial también se puede llamar constantemente o coherente completa ( Visser 2004, p. 182 ), ya que cualquier límite superior de un conjunto se puede interpretar como algunos consistente(no contradictorio) pieza de información que amplía toda la información presente en el conjunto. Por lo tanto, la presencia de algún límite superior garantiza de alguna manera la consistencia de un conjunto. La completitud limitada produce entonces la existencia de un límite superior mínimo de cualquier subconjunto "consistente", que puede considerarse como la información más general que captura todo el conocimiento presente dentro de este subconjunto. Este punto de vista se relaciona estrechamente con la idea del ordenamiento de la información que uno suele encontrar en la teoría de dominios .
Formalmente, un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) está acotado completo si se cumple lo siguiente para cualquier subconjunto S de P :
- Si S tiene algún límite superior, entonces también tiene un límite superior mínimo.
La completitud limitada tiene varias relaciones con otras propiedades de completitud, que se detallan en el artículo sobre completitud en la teoría del orden . El término poset acotado se usa a veces para referirse a un conjunto parcialmente ordenado que tiene tanto un elemento menor como uno mayor . Por tanto, es importante distinguir entre un poset completo acotado y un orden parcial completo acotado (cpo).
Para un ejemplo típico de un conjunto completo acotado, considere el conjunto de todos los números decimales finitos que comienzan con "0". (como 0.1, 0.234, 0.122) junto con todos los números infinitos (como la representación decimal 0.1111 ... de 1/9). Ahora estos elementos se pueden ordenar según el orden de prefijo de las palabras: un número decimal n está por debajo de algún otro número m si hay una cadena de dígitos w tal que nw = m . Por ejemplo, 0.2 está por debajo de 0.234, ya que se puede obtener este último agregando la cadena "34" a 0.2. Los números decimales infinitos son los elementos máximos dentro de este orden. En general, los subconjuntos de este orden no tienen límites superiores mínimos: solo considere el conjunto {0.1, 0.3}. Mirando hacia atrás en la intuición anterior, se podría decir que no es consistente suponer que algún número comienza tanto con 0.1 como con 0.3. Sin embargo, el pedido todavía está delimitado por completo. De hecho, es incluso un ejemplo de una clase más especializada de estructuras, los dominios de Scott , que proporcionan muchos otros ejemplos de posets completos acotados.
Referencias
- Visser, A. (2004) 'Semantics and the Liar Paradox' en: DM Gabbay y F. Günther (ed.) Handbook of Philosophical Logic, 2nd Edition, Volume 11, pp. 149-240