Proceso de ramificación
En la teoría de la probabilidad , un proceso de ramificación es un tipo de objeto matemático conocido como proceso estocástico , que consiste en colecciones de variables aleatorias . Las variables aleatorias de un proceso estocástico están indexadas por números naturales. El propósito original de los procesos de ramificación era servir como modelo matemático de una población en la que cada individuo en la generación produce un número aleatorio de individuos en la generación , de acuerdo, en el caso más simple, con una distribución de probabilidad fija que no varía de un individuo a otro. individual. [1]Los procesos de ramificación se utilizan para modelar la reproducción; por ejemplo, los individuos pueden corresponder a bacterias, cada una de las cuales genera 0, 1 o 2 descendientes con alguna probabilidad en una sola unidad de tiempo. Los procesos de ramificación también se pueden utilizar para modelar otros sistemas con dinámicas similares, por ejemplo, la propagación de apellidos en la genealogía o la propagación de neutrones en un reactor nuclear .
Una cuestión central en la teoría de los procesos de ramificación es la probabilidad de extinción final , donde no existen individuos después de un número finito de generaciones. Usando la ecuación de Wald , se puede demostrar que comenzando con un individuo en la generación cero, el tamaño esperado de la generación n es igual a μ n donde μ es el número esperado de hijos de cada individuo. Si μ <1, entonces el número esperado de individuos pasa rápidamente a cero, lo que implica la extinción final con probabilidad 1 por la desigualdad de Markov.. Alternativamente, si μ> 1, entonces la probabilidad de extinción final es menor que 1 (pero no necesariamente cero; considere un proceso donde cada individuo tiene 0 o 100 hijos con la misma probabilidad. En ese caso, μ = 50, pero probabilidad de la extinción final es mayor que 0.5, ya que esa es la probabilidad de que el primer individuo tenga 0 hijos). Si μ = 1, entonces la extinción final ocurre con probabilidad 1 a menos que cada individuo siempre tenga exactamente un hijo.
En ecología teórica , el parámetro μ de un proceso de ramificación se denomina tasa de reproducción básica .
La formulación más común de un proceso de ramificación es la del proceso de Galton-Watson . Sea Z n el estado en el período n (a menudo interpretado como el tamaño de la generación n ), y sea X n, i una variable aleatoria que denota el número de sucesores directos del miembro i en el período n , donde X n, i son independientes y variables aleatorias distribuidas de forma idéntica sobre todos n ∈ {0, 1, 2, ...} yi ∈ {1, ..., Z n }. Entonces la ecuación de recurrencia es
Alternativamente, el proceso de ramificación se puede formular como un recorrido aleatorio . Sea S i el estado en el período i , y sea X i una variable aleatoria que es iid sobre todo i . Entonces la ecuación de recurrencia es
con S 0 = 1. Para ganar algo de intuición para esta formulación, imagine una caminata donde el objetivo es visitar cada nodo, pero cada vez que se visita un nodo no visitado previamente, se revelan nodos adicionales que también deben ser visitados. Sea S i el número de nodos revelados pero no visitados en el período i , y sea X i el número de nuevos nodos que se revelen cuando se visita el nodo i . Luego, en cada período, el número de nodos revelados pero no visitados es igual al número de dichos nodos en el período anterior, más los nuevos nodos que se revelan al visitar un nodo, menos el nodo que se visita. El proceso finaliza una vez que se han visitado todos los nodos revelados.
