Casi seguro

Probabilidad diciendo

En la teoría de la probabilidad , se dice que un evento ocurre casi con seguridad (a veces abreviado como ) si ocurre con probabilidad 1 (o medida de Lebesgue 1). ^{[1] [2]} En otras palabras, el conjunto de posibles excepciones puede no estar vacío, pero tiene probabilidad 0. El concepto es análogo al concepto de " casi en todas partes " en la teoría de medidas , o casi todas en la teoría de conjuntos.

En los experimentos de probabilidad en un espacio muestral finito , a menudo no hay diferencia entre casi seguro y seguro (ya que tener una probabilidad de 1 a menudo implica incluir todos los puntos muestrales ). Sin embargo, esta distinción se vuelve importante cuando el espacio muestral es un conjunto infinito , ^[3] porque un conjunto infinito puede tener subconjuntos no vacíos de probabilidad 0.

Algunos ejemplos del uso de este concepto incluyen las versiones fuertes y uniformes de la ley de los grandes números y la continuidad de las trayectorias del movimiento browniano .

También se utilizan los términos casi con certeza (ac) y casi siempre (aa). Casi nunca describe lo contrario de casi seguro : un evento que ocurre con probabilidad cero ocurre casi nunca . ^{[1] [4]}

Definición formal

Dejar ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ser un espacio de probabilidad . Un evento ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$sucede casi con seguridad si${\displaystyle P(E)=1}$. Equivalentemente,${\displaystyle E}$ ocurre casi con seguridad si la probabilidad de ${\displaystyle E}$no ocurre es cero :${\displaystyle P(E^{C})=0}$. De manera más general, cualquier evento${\displaystyle E\subseteq \Omega }$ (no necesariamente en ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) sucede casi con seguridad si ${\displaystyle E^{C}}$está contenido en un conjunto nulo : un subconjunto${\displaystyle N}$ en ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ tal que ${\displaystyle P(N)=0}$. ^[5] La noción de casi seguridad depende de la medida de probabilidad${\displaystyle P}$. Si es necesario enfatizar esta dependencia, se acostumbra decir que el evento${\displaystyle E}$ocurre P -casi seguramente, o casi seguramente${\displaystyle \left(\!P\right)}$.

Ejemplos ilustrativos

En general, un evento puede suceder "casi con seguridad", incluso si el espacio de probabilidad en cuestión incluye resultados que no pertenecen al evento, como lo ilustran los siguientes ejemplos.

Lanzar un dardo

Imagínese lanzar un dardo a un cuadrado unitario (un cuadrado con un área de 1) de modo que el dardo siempre golpee un punto exacto en el cuadrado, de tal manera que cada punto del cuadrado tenga la misma probabilidad de ser golpeado. Dado que el cuadrado tiene área 1, la probabilidad de que el dardo golpee cualquier subregión particular del cuadrado es igual al área de esa subregión. Por ejemplo, la probabilidad de que el dardo golpee la mitad derecha del cuadrado es 0.5, ya que la mitad derecha tiene un área de 0.5.

Luego, considere el evento de que el dardo golpee exactamente un punto en las diagonales del cuadrado unitario. Dado que el área de las diagonales del cuadrado es 0, la probabilidad de que el dardo caiga exactamente en una diagonal es 0. Es decir, el dardo casi nunca aterrizará en una diagonal (de manera equivalente, es casi seguro que no aterrizará en una diagonal ), aunque el conjunto de puntos en las diagonales no está vacío, y un punto en una diagonal no es menos posible que cualquier otro punto.

Lanzar una moneda repetidamente

Considere el caso en el que se lanza una moneda (posiblemente sesgada), correspondiente al espacio de probabilidad ${\displaystyle (\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)}$, donde el evento ${\displaystyle \{H\}}$ ocurre si se voltea una cabeza, y ${\displaystyle \{T\}}$si se voltea una cola. Para esta moneda en particular, se supone que la probabilidad de lanzar una cara es${\displaystyle P(H)=p\in (0,1)}$, de lo cual se sigue que el evento del complemento, el de mover la cola, tiene probabilidad ${\displaystyle P(T)=1-p}$.

Ahora, suponga que se llevó a cabo un experimento en el que la moneda se lanza repetidamente, con resultados ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$y la suposición de que el resultado de cada cambio es independiente de todos los demás (es decir, son independientes y están distribuidos de forma idéntica ; iid ). Defina la secuencia de variables aleatorias en el espacio de lanzamiento de la moneda,${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ donde ${\displaystyle X_{i}(\omega )=\omega _{i}}$. es decir, cada uno${\displaystyle X_{i}}$ registra el resultado de la ${\displaystyle i}$th flip.

En este caso, cualquier secuencia infinita de caras y cruces es un posible resultado del experimento. Sin embargo, cualquier secuencia infinita particular de caras y cruces tiene probabilidad 0 de ser el resultado exacto del experimento (infinito). Esto se debe a que la suposición iid implica que la probabilidad de voltear todas las caras${\displaystyle n}$ volteretas es simplemente ${\displaystyle P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}}$. Dejando${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ produce 0, ya que ${\displaystyle p\in (0,1)}$por suposición. El resultado es el mismo sin importar cuánto sesguemos la moneda hacia caras, siempre que restrinjamos${\displaystyle p}$estar estrictamente entre 0 y 1. De hecho, el mismo resultado se cumple incluso en el análisis no estándar, donde no se permiten probabilidades infinitesimales. ^[6]

Además, el evento "la secuencia de lanzamientos contiene al menos una ${\displaystyle T}$"también sucederá casi con seguridad (es decir, con probabilidad 1). Pero si en lugar de un número infinito de lanzamientos, el lanzamiento se detiene después de un tiempo finito, digamos 1,000,000 de lanzamientos, entonces la probabilidad de obtener una secuencia de todos los caras, ${\displaystyle p^{1,000,000}}$, ya no sería 0, mientras que la probabilidad de obtener al menos una cruz, ${\displaystyle 1-p^{1,000,000}}$, ya no sería 1 (es decir, el evento ya no es casi seguro).

Asintóticamente, casi con seguridad

En análisis asintótico , se dice que una propiedad para mantener asintóticamente casi seguramente (AAS) si más de una secuencia de conjuntos, los converge de probabilidad a 1. Por ejemplo, en la teoría de números, un gran número es asintóticamente casi seguramente compuesto , por el teorema del número primo ; y en la teoría de grafos aleatorios , el enunciado "${\displaystyle G(n,p_{n})}$está conectado "(donde${\displaystyle G(n,p)}$ denota los gráficos en ${\displaystyle n}$ vértices con probabilidad de borde ${\displaystyle p}$) es cierto como cuando, para algunos ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.}$   ^[7]

En teoría de números , esto se conoce como " casi todos ", como en "casi todos los números son compuestos". De manera similar, en la teoría de grafos, esto a veces se denomina "casi seguro". ^[8]

Ver también

• Casi
• Casi en todas partes , el concepto correspondiente en la teoría de la medida
• Convergencia de variables aleatorias , para una "convergencia casi segura"
• La regla de Cromwell , que dice que las probabilidades casi nunca deben establecerse en cero o uno.
• Distribución degenerada , por "casi seguramente constante"
• Teorema del mono infinito , un teorema que utiliza los términos antes mencionados.
• Lista de jerga matemática

Notas

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Casi" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Casi seguro" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
3. "Casi seguro - Math Central" . mathcentral.uregina.ca . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
4. Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G .; Libkin, Leonid ; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y .; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007). Teoría de modelos finitos y sus aplicaciones . Saltador. pag. 232 . ISBN 978-3-540-00428-8.
5. Jacod, Jean; Protter (2004). Probability Essentials . Saltador. pag. 37 . ISBN 978-3-540-438717.
6. Williamson, Timothy (1 de julio de 2007). "¿Qué tan probable es una secuencia infinita de cabezas?" . Análisis . 67 (3): 173–180. doi : 10.1093 / analys / 67.3.173 . ISSN 0003-2638 . 
7. Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (enero de 2006). "Un umbral agudo para gráficos aleatorios con un triángulo monocromático en cada borde para colorear". Memorias de la American Mathematical Society . Librería AMS. 179 (845): 3–4. doi : 10.1090 / memo / 0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .  
8. Spencer, Joel H. (2001). "0. Dos ejemplos iniciales" . La extraña lógica de los gráficos aleatorios . Algoritmos y Combinatoria. 22 . Saltador. pag. 4. ISBN 978-3540416548.

Referencias

• Rogers, LCG; Williams, David (2000). Difusiones, Procesos de Markov y Martingalas . 1: Fundaciones. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521775946.
• Williams, David (1991). Probabilidad con Martingalas . Libros de texto de matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521406055.