Excursión browniana

Una realización de la Excursión Browniana.

En la teoría de la probabilidad, un proceso de excursión browniano es un proceso estocástico que está estrechamente relacionado con un proceso de Wiener (o movimiento browniano ). Las realizaciones de los procesos de excursión browniana son esencialmente solo realizaciones de un proceso de Wiener seleccionado para satisfacer ciertas condiciones. En particular, un proceso de excursión browniano es un proceso de Wiener condicionado para ser positivo y para tomar el valor 0 en el tiempo 1. Alternativamente, es un proceso de puente browniano condicionado para ser positivo. Los BEP son importantes porque, entre otras razones, surgen naturalmente como el proceso límite de una serie de teoremas del límite central funcional condicional. ^[1]

Definición

Un proceso de excursión browniano,, es un proceso de Wiener (o movimiento browniano ) condicionado para ser positivo y tomar el valor 0 en el tiempo 1. Alternativamente, es un proceso de puente browniano condicionado para ser positivo.${\displaystyle e}$

Otra representación de una excursión browniana en términos de un proceso de movimiento browniano W (debido a Paul Lévy y señalado por Kiyosi Itô y Henry P. McKean, Jr. ^[2] ) es en términos de la última vez que W llega a cero antes del tiempo 1 y la primera vez que el movimiento browniano llega a cero después del tiempo 1: ^[2]${\displaystyle e}$${\displaystyle \tau _{-}}$${\displaystyle \tau _{+}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Sea el tiempo que un proceso de puente browniano alcanza su mínimo en [0, 1]. Vervaat (1979) muestra que${\displaystyle \tau _{m}}$${\displaystyle W_{0}}$

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Propiedades

La representación de Vervaat de una excursión browniana tiene varias consecuencias para varias funciones de . En particular:${\displaystyle e}$

${\displaystyle M_{+}\equiv \sup _{0\leq t\leq 1}e(t)\ {\stackrel {d}{=}}\ \sup _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t)-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t),}$

(esto también se puede derivar mediante cálculos explícitos ^{[3] [4]} ) y

${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt\ {\stackrel {d}{=}}\ \int _{0}^{1}W_{0}(t)\,dt-\inf _{0\leq t\leq 1}W_{0}(t).}$

El siguiente resultado es válido: ^[5]

${\displaystyle EM_{+}={\sqrt {\pi /2}}\approx 1.25331\ldots ,\,}$

y los siguientes valores para el segundo momento y la varianza se pueden calcular mediante la forma exacta de la distribución y la densidad: ^[5]

${\displaystyle EM_{+}^{2}\approx 1.64493\ldots \ ,\ \ \operatorname {Var} (M_{+})\approx 0.0741337\ldots .}$

Groeneboom (1989), el Lema 4.2 da una expresión para la transformada de Laplace de (la densidad) de . Louchard (1984) da una fórmula para cierta doble transformada de la distribución de esta integral de área.${\displaystyle \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$

Groeneboom (1983) y Pitman (1983) dan descomposiciones del movimiento browniano en términos de iid excursiones brownianas y el menor mayoritario cóncavo (o mayor menor convexo) de .${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

Para una introducción a la teoría general de Itô sobre las excursiones brownianas y el proceso de excursiones de Itô Poisson , véase Revuz y Yor (1994), capítulo XII.

Conexiones y aplicaciones

La zona de excursiones de Brownian

${\displaystyle A_{+}\equiv \int _{0}^{1}e(t)\,dt}$

surge en relación con la enumeración de grafos conectados, muchos otros problemas en la teoría combinatoria; ver, por ejemplo, ^{[6] [7] [8] [9] [10]} y la distribución límite de los números Betti de ciertas variedades en la teoría de la cohomología. ^[11] Takacs (1991a) muestra que tiene densidad${\displaystyle A_{+}}$

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)={\frac {2{\sqrt {6}}}{x^{2}}}\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}^{2/3}e^{-v_{j}}U\left(-{\frac {5}{6}},{\frac {4}{3}};v_{j}\right)\ \ {\text{ with }}\ \ v_{j}={\frac {2|a_{j}|^{3}}{27x^{2}}}}$

donde están los ceros de la función Airy y es la función hipergeométrica confluente . Janson y Louchard (2007) muestran que${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle f_{A_{+}}(x)\sim {\frac {72{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}x^{2}e^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty ,}$

y

${\displaystyle P(A_{+}>x)\sim {\frac {6{\sqrt {6}}}{\sqrt {\pi }}}xe^{-6x^{2}}\ \ {\text{ as }}\ \ x\rightarrow \infty .}$

También dan expansiones de orden superior en ambos casos.

Janson (2007) da momentos y muchas otras funciones de área. En particular,${\displaystyle A_{+}}$

${\displaystyle E(A_{+})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\ \ E(A_{+}^{2})={\frac {5}{12}}\approx 0.416666\ldots ,\ \ \operatorname {Var} (A_{+})={\frac {5}{12}}-{\frac {\pi }{8}}\approx .0239675\ldots \ .}$

Las excursiones brownianas también surgen en relación con problemas de colas, ^[12] tráfico ferroviario, ^{[13] [14]} y las alturas de árboles binarios con raíces aleatorias. ^[15]

Procesos relacionados

• Puente browniano
• Meandro browniano
• movimiento browniano reflejado
• sesgar el movimiento browniano

Notas

1. Durrett, Iglehart: Funcionales del meandro browniano y la excursión browniana, (1975)
2. Itô y McKean (1974, página 75)
3. Chung (1976)
4. Kennedy (1976)
5. Durrett e Iglehart (1977)
6. Wright, EM (1977). "El número de gráficos de bordes dispersos conectados". Revista de teoría de grafos . 1 (4): 317–330. doi : 10.1002 / jgt.3190010407 .
7. Wright, EM (1980). "El número de gráficos de bordes dispersos conectados. III. Resultados asintóticos". Revista de teoría de grafos . 4 (4): 393–407. doi : 10.1002 / jgt.3190040409 .
8. Spencer J (1997). "Enumeración de gráficos y movimiento browniano". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 50 (3): 291-294. doi : 10.1002 / (sici) 1097-0312 (199703) 50: 3 <291 :: aid-cpa4> 3.0.co; 2-6 .
9. Janson, Svante (2007). "Área de excursión browniana, constantes de Wright en la enumeración de gráficos y otras áreas brownianas". Encuestas de probabilidad . 4 : 80-145. arXiv : 0704.2289 . Código Bibliográfico : 2007arXiv0704.2289J . doi : 10.1214 / 07-PS104 . S2CID 14563292 . 
10. Flajolet, P .; Louchard, G. (2001). "Variaciones analíticas de la distribución de Airy". Algoritmica . 31 (3): 361–377. CiteSeerX 10.1.1.27.3450 . doi : 10.1007 / s00453-001-0056-0 . S2CID 6522038 .  
11. Reineke M (2005). "Cohomología de esquemas de Hilbert no conmutativos". Álgebras y teoría de la representación . 8 (4): 541–561. arXiv : matemáticas / 0306185 . doi : 10.1007 / s10468-005-8762-y . S2CID 116587916 . 
12. Iglehart DL (1974). "Teoremas del límite central funcional para paseos aleatorios condicionados a permanecer positivo" . Los anales de la probabilidad . 2 (4): 608–619. doi : 10.1214 / aop / 1176996607 .
13. Takacs L (1991a). "Una excursión de Bernoulli y sus diversas aplicaciones". Avances en probabilidad aplicada . 23 (3): 557–585. doi : 10.1017 / s0001867800023739 .
14. Takacs L (1991b). "Sobre un problema de probabilidad relacionado con el tráfico ferroviario" . Revista de Matemática Aplicada y Análisis Estocástico . 4 : 263-292. doi : 10.1155 / S1048953391000011 .
15. Takacs L (1994). "Sobre las alturas totales de árboles binarios de raíces aleatorias" . Revista de Teoría Combinatoria, Serie B . 61 (2): 155-166. doi : 10.1006 / jctb.1994.1041 .

Referencias

• Chung, KL (1975). "Máximos en excursiones brownianas" . Boletín de la American Mathematical Society . 81 (4): 742–745. doi : 10.1090 / s0002-9904-1975-13852-3 . Señor  0373035 .
• Chung , KL (1976). "Excursiones en movimiento browniano" . Arkiv för Matematik . 14 (1): 155-177. Código bibliográfico : 1976ArM .... 14..155C . doi : 10.1007 / bf02385832 . Señor  0467948 .
• Durrett, Richard T .; Iglehart, Donald L. (1977). "Funcionales del meandro browniano y excursión browniana" . Anales de probabilidad . 5 (1): 130-135. doi : 10.1214 / aop / 1176995896 . JSTOR  2242808 . Señor  0436354 .
• Groeneboom, Piet (1983). "El mayor cóncavo del movimiento browniano" . Anales de probabilidad . 11 (4): 1016–1027. doi : 10.1214 / aop / 1176993450 . JSTOR  2243513 . Señor  0714964 .
• Groeneboom, Piet (1989). "Movimiento browniano con deriva parabólica y funciones Airy" . Teoría de la probabilidad y campos relacionados . 81 : 79-109. doi : 10.1007 / BF00343738 . Señor  0981568 . S2CID  119980629 .
• Itô, Kiyosi ; McKean, Jr., Henry P. (2013) [1974]. Procesos de difusión y sus rutas de muestreo . Classics in Mathematics (Segunda edición, edición corregida). Springer-Verlag, Berlín. ISBN 978-3540606291. Señor  0345224 .
• Janson, Svante (2007). "Área de excursión browniana, constantes de Wright en la enumeración de gráficos y otras áreas brownianas". Encuestas de probabilidad . 4 : 80-145. arXiv : 0704.2289 . Código Bibliográfico : 2007arXiv0704.2289J . doi : 10.1214 / 07-ps104 . Señor  2318402 . S2CID  14563292 .
• Janson, Svante; Louchard, Guy (2007). "Estimaciones de cola para el área de excursión browniana y otras áreas brownianas" . Revista Electrónica de Probabilidad . 12 : 1600–1632. arXiv : 0707.0991 . Código Bib : 2007arXiv0707.0991J . doi : 10.1214 / ejp.v12-471 . Señor  2365879 . S2CID  6281609 .
• Kennedy, Douglas P. (1976). "La distribución de la máxima excursión browniana". Revista de probabilidad aplicada . 13 (2): 371–376. doi : 10.2307 / 3212843 . JSTOR  3212843 . Señor  0402955 .
• Lévy, Paul (1948). Processus Stochastiques et Mouvement Brownien . Gauthier-Villars, París. Señor  0029120 .
• Louchard, G. (1984). "Fórmula de Kac, hora local de Levy y excursión browniana". Revista de probabilidad aplicada . 21 (3): 479–499. doi : 10.2307 / 3213611 . JSTOR  3213611 . Señor  0752014 .
• Pitman, JW (1983). "Observaciones sobre el minorante convexo del movimiento browniano". Seminario de Procesos Estocásticos, 1982 . Progr. Probab. Estadístico. 5 . Birkhauser, Boston. págs. 219-227. Señor  0733673 .
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (2004). Martingalas continuas y movimiento browniano . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 293 . Springer-Verlag, Berlín. doi : 10.1007 / 978-3-662-06400-9 . ISBN 978-3-642-08400-3. Señor  1725357 .
• Vervaat, W. (1979). "Una relación entre el puente browniano y la excursión browniana" . Anales de probabilidad . 7 (1): 143-149. doi : 10.1214 / aop / 1176995155 . JSTOR  2242845 . Señor  0515820 .