En la teoría matemática de la probabilidad , el meandro browniano
es un proceso de Markov continuo no homogéneo definido de la siguiente manera:
Dejar
ser un movimiento browniano unidimensional estándar , y
, es decir, la última vez antes de t = 1 cuando
visitas
. Entonces, el meandro browniano se define por lo siguiente:
![{\ Displaystyle W_ {t} ^ {+}: = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tau}}} | W _ {\ tau + t (1- \ tau)} |, \ quad t \ en [0,1].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En palabras, deja
será la última vez antes de la 1 que un movimiento browniano estándar visita
. (
casi seguro.) Cortamos y descartamos la trayectoria del movimiento browniano antes
y escale la parte restante para que abarque un intervalo de tiempo de longitud 1. El factor de escala para el eje espacial debe ser la raíz cuadrada del factor de escala para el eje de tiempo. El proceso resultante de este procedimiento de recorte y escala es un meandro browniano. Como sugiere el nombre, es una pieza de movimiento browniano que pasa todo su tiempo lejos de su punto de partida.
.
La densidad de transición
del meandro browniano se describe a continuación:
Para
y
, y escribiendo
![{\ Displaystyle \ varphi _ {t} (x): = {\ frac {\ exp \ {- x ^ {2} / (2t) \}} {\ sqrt {2 \ pi t}}} \ quad {\ texto {y}} \ quad \ Phi _ {t} (x, y): = \ int _ {x} ^ {y} \ varphi _ {t} (w) \, dw,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tenemos
![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} p (s, x, t, y) \, dy: = {} & P (W_ {t} ^ {+} \ in dy \ mid W_ {s} ^ {+} = x) \\ = {} & {\ bigl (} \ varphi _ {ts} (yx) - \ varphi _ {ts} (y + x) {\ bigl)} {\ frac {\ Phi _ {1-t } (0, y)} {\ Phi _ {1-s} (0, x)}} \, dy \ end {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\ Displaystyle p (0,0, t, y) \, dy: = P (W_ {t} ^ {+} \ in dy) = 2 {\ sqrt {2 \ pi}} {\ frac {y} { t}} \ varphi _ {t} (y) \ Phi _ {1-t} (0, y) \, dy.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En particular,
![{\ Displaystyle P (W_ {1} ^ {+} \ in dy) = y \ exp \ {- y ^ {2} / 2 \} \, dy, \ quad y> 0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es decir
tiene la distribución de Rayleigh con el parámetro 1, la misma distribución que
, dónde
es una variable aleatoria exponencial con parámetro 1.