El Bruck - Ryser - Chowla teorema es una consecuencia de las combinatoria de los diseños de bloques que implica la no existencia de ciertos tipos de diseño. Establece que si existe un diseño ( v , b , r , k , λ) con v = b (un diseño de bloque simétrico ), entonces:
- si v es par, entonces k - λ es un cuadrado;
- si v es impar, entonces la siguiente ecuación diofántica tiene una solución no trivial:
- x 2 - ( k - λ) y 2 - (−1) (v − 1) / 2 λ z 2 = 0.
El teorema fue probado en el caso de planos proyectivos por Bruck y Ryser (1949) . Fue ampliado a diseños simétricos por Chowla & Ryser (1950) .
Planos proyectivos
En el caso especial de un diseño simétrico con λ = 1, es decir, un plano proyectivo , el teorema (que en este caso se conoce como el teorema de Bruck-Ryser ) se puede enunciar de la siguiente manera: Si un plano proyectivo finito de orden q existe y q es congruente con 1 o 2 (mod 4), entonces q debe ser la suma de dos cuadrados. Tenga en cuenta que para un plano proyectivo, los parámetros de diseño son v = b = q 2 + q + 1, r = k = q + 1, λ = 1. Por lo tanto, v siempre es impar en este caso.
El teorema, por ejemplo, descarta la existencia de planos proyectivos de órdenes 6 y 14 pero permite la existencia de planos de órdenes 10 y 12. Dado que se ha demostrado que un plano proyectivo de orden 10 no existe utilizando una combinación de teoría de codificación y búsqueda por computadora a gran escala, [1] la condición del teorema evidentemente no es suficiente para la existencia de un diseño. Sin embargo, no se conoce ningún criterio de inexistencia general más sólido.
Conexión con matrices de incidencia
La existencia de un diseño simétrico ( v , b , r , k , λ) es equivalente a la existencia de una matriz de incidencia v × v R con elementos 0 y 1 que satisfacen
- R R T = ( k - λ) Yo + λ J
donde I es la matriz identidad v × v y J es la matriz v × v all-1. En esencia, el teorema de Bruck-Ryser-Chowla es un enunciado de las condiciones necesarias para la existencia de una matriz R racional v × v que satisfaga esta ecuación. De hecho, las condiciones establecidas en el Bruck-Ryser-Chowla teorema no son meramente necesario, pero también suficiente para la existencia de una matriz racional tales R . Pueden derivarse del teorema de Hasse-Minkowski sobre la equivalencia racional de formas cuadráticas .
Referencias
- ^ Browne, Malcolm W. (20 de diciembre de 1988), "¿Es una prueba matemática una prueba si nadie puede verificarla?" , The New York Times
- Bruck, RH; Ryser, HJ (1949), "La inexistencia de ciertos planos proyectivos finitos", Canadian Journal of Mathematics , 1 : 88–93, doi : 10.4153 / cjm-1949-009-2
- Chowla, S .; Ryser, HJ (1950), "Problemas combinatorios", Canadian Journal of Mathematics , 2 : 93–99, doi : 10.4153 / cjm-1950-009-8
- Lam, CWH (1991), "La búsqueda de un plano proyectivo finito de orden 10" , American Mathematical Monthly , 98 (4): 305–318, doi : 10.2307 / 2323798 , JSTOR 2323798
- van Lint, JH y RM Wilson (1992), Un curso de combinatoria . Cambridge, Ing .: Cambridge University Press.