El teorema de Hasse-Minkowski es un resultado fundamental en la teoría de números que establece que dos formas cuadráticas sobre un campo numérico son equivalentes si y solo si son equivalentes localmente en todos los lugares , es decir, equivalentes en cada terminación del campo (que puede ser real , complejo o p-ádico ). Un resultado relacionado es que un espacio cuadrático sobre un campo numérico es isotrópicosi y solo si es isotrópico localmente en todas partes, o de manera equivalente, que una forma cuadrática sobre un campo numérico represente de manera no trivial cero si y solo si esto se cumple para todas las terminaciones del campo. El teorema fue probado en el caso del campo de los números racionales por Hermann Minkowski y generalizado a los campos de números por Helmut Hasse . La misma afirmación es aún más generalizada para todos los campos globales .
Importancia
La importancia del teorema de Hasse-Minkowski radica en el novedoso paradigma que presentó para responder preguntas aritméticas: para determinar si una ecuación de cierto tipo tiene una solución en números racionales, es suficiente probar si tiene soluciones en campos completos de números reales y p -ádicos, donde se aplican consideraciones analíticas, como el método de Newton y su análogo p -ádico, el lema de Hensel . Esto se resume en la idea de un principio local-global , que es una de las técnicas más fundamentales en geometría aritmética .
Aplicación a la clasificación de formas cuadráticas
El teorema de Hasse-Minkowski reduce el problema de clasificar formas cuadráticas sobre un campo numérico K hasta la equivalencia con el conjunto de preguntas análogas pero mucho más simples sobre campos locales . Los invariantes básicos de una forma cuadrática no singular son su dimensión , que es un entero positivo, y su módulo discriminante los cuadrados en K , que es un elemento del grupo multiplicativo K * / K * 2 . Además, para cada lugar v de K , hay un invariante procedente de la compleción K v . Dependiendo de la elección de v , esta compleción puede ser los números reales R , los números complejos C o un campo numérico p-ádico , cada uno de los cuales tiene diferentes tipos de invariantes:
- Caso de R . Según la ley de inercia de Sylvester , la firma (o, alternativamente, el índice de inercia negativo) es un invariante completo.
- Caso C . Todas las formas cuadráticas no singulares de la misma dimensión son equivalentes.
- Caso de Q p y sus extensiones algebraicas . Las formas de la misma dimensión se clasifican hasta la equivalencia por su invariante de Hasse .
Estos invariantes deben satisfacer algunas condiciones de compatibilidad: una relación de paridad (el signo del discriminante debe coincidir con el índice de inercia negativo) y una fórmula de producto (una relación local-global). A la inversa, para cada conjunto de invariantes que satisfacen estas relaciones, existe una forma cuadrática sobre K con estas invariantes.
Referencias
- Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. 106 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 .
- Serre, Jean-Pierre (1973). Un curso de aritmética . Textos de Posgrado en Matemáticas . 7 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001 .