El teorema de la envolvente de las sociedades para las poblaciones dependientes de los recursos , también llamado teorema de Bruss-Duerinckx , es un resultado matemático sobre el comportamiento de las poblaciones que eligen su forma de sociedad de acuerdo con solo dos hipótesis, a saber, aquellas que se consideran más "naturales". ":
Aquí, las poblaciones con una estructura de sociedad se modelan mediante los llamados procesos de ramificación dependientes de recursos (RDBP). El objetivo de los RDBP es modelar diferentes estructuras sociales y comparar las ventajas y desventajas de diferentes sociedades, centrándose en las sociedades humanas. Un RDBP es un proceso de ramificación de tiempo discreto (BP) en el que se supone que los individuos tienen que trabajar para poder vivir y reproducirse. La población decide sobre una forma de sociedad actual mediante una política, que es una prescripción de reglas sobre cómo se distribuirán los recursos disponibles entre los individuos. Las políticas pueden cambiar a lo largo de las generaciones por la interacción de los individuos.
Para modelar una sociedad humana, un RDBP incorpora una parte de un estado inicial (número de ancestros en el momento 0) demandas individuales de recursos (nivel de vida), creación (producción) de nuevos recursos para la próxima generación (incluido el no consumo y patrimonio de los recursos), una política de distribución de los recursos y una opción de control para los individuos que interactúan con la sociedad. Para simplificar, la reproducción en un RDBP se modela como asexual, pero la opción de reemplazar la tasa de reproducción media por la llamada tasa de reproducción media de las unidades de apareamiento (ver Procesos de Galton-Watson y ref. 1984) permite mostrar que la principal los resultados que se dan a continuación no se ven afectados por esta simplificación.
Formalmente, un RDBP es un proceso estocástico Γ definido en los números enteros no negativos que es un BP definido por
Los modelos para el desarrollo de una sociedad humana en el tiempo deben permitir la interdependencia entre los diferentes componentes. Dichos modelos son en general muy complicados. Crucial en el desarrollo de los resultados fue la idea de no tratar de modelar el desarrollo de una sociedad con un (único) RDBP realista sino más bien por una secuencia de RDBPs respetando H1 y H2, es decir, mediante acciones de control que definen en cada momento de control un RDBP relevante de corto plazo. Por lo tanto, los RDBP sirven como modelos definidos localmente para el comportamiento a corto plazo de una sociedad, mientras que la evolución de una sociedad se ve como una secuencia de RDBP controlada por la interacción de los individuos. La herramienta de interacción para los individuos dentro de cada generación es la opción de emigrar antes de la reproducción (generar hijos) si la forma de sociedad actual no satisface sus demandas individuales de recursos.La emigración puede aquí ser sustituida por otras opciones de protesta.
Resulta que dos políticas especiales se destacan como lineamientos para el desarrollo de cualquier sociedad. Estas son la llamada política de primero los más débiles (política wf) y la llamada política de primero los más fuertes (política sf) definidas en el proceso de ramificación dependiente de recursos . Se puede argumentar que la sociedad wf comparte características importantes de una forma extrema de comunismo, mientras que la sociedad sf puede interpretarse de manera similar como una forma extrema de capitalismo .