El teorema de la mariposa es un resultado clásico en la geometría euclidiana , que se puede enunciar de la siguiente manera: [1] : p. 78
Sea M el punto medio de un acorde PQ de un círculo , a través del cual se dibujan otros dos acordes AB y CD ; AD y BC intersecan el acorde PQ en X e Y correspondientemente. Entonces M es el punto medio de XY .
Prueba
Una demostración formal del teorema es la siguiente: Supongamos que las perpendiculares XX ′ y XX ″ se eliminan del punto X en las líneas rectas AM y DM respectivamente. De manera similar, dejemos caer YY ′ e YY ″ desde el punto Y perpendicular a las líneas rectas BM y CM respectivamente.
Desde
De las ecuaciones anteriores y el teorema de los acordes que se cruzan , se puede ver que
desde PM = MQ .
Entonces
Multiplicación cruzada en la última ecuación,
Cancelar el término común
de ambos lados de la ecuación resultante se obtiene
por lo tanto, MX = MY , ya que MX, MY y PM son números reales positivos.
Por tanto, M es el punto medio de XY .
Existen otras pruebas, [2] incluida una que usa geometría proyectiva. [3]
Historia
La demostración del teorema de la mariposa fue planteada como un problema por William Wallace en The Gentlemen's Mathematical Companion (1803). En 1804 se publicaron tres soluciones, y en 1805 Sir William Herschel volvió a plantear la pregunta en una carta a Wallace. El reverendo Thomas Scurr volvió a hacer la misma pregunta en 1814 en el Diario de los caballeros o en el Repositorio matemático . [4]
Referencias
- ^ Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
- ^ Martin Celli, "Una prueba del teorema de la mariposa utilizando el factor de similitud de las dos alas", Forum Geometricorum 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf
- ^ [1] , problema 8.
- ^ Declaración del teorema de la mariposa de 1803 de William Wallace , corta el nudo , consultado el 7 de mayo de 2015.