Acorde (geometría)

Este artículo trata sobre el segmento de línea definido en una curva. Para otros usos, consulte Acorde (desambiguación) .

Segmento de línea geométrica cuyos extremos se encuentran en la curva

Una cuerda de un círculo es un segmento de línea recta cuyos extremos se encuentran en un arco circular . La extensión de línea infinita de una cuerda es una línea secante , o simplemente secante . De manera más general, una cuerda es un segmento de línea que une dos puntos en cualquier curva, por ejemplo, una elipse . Una cuerda que pasa por el punto central de un círculo es el diámetro del círculo . La palabra acorde proviene del latín chorda que significa cuerda de arco .

El segmento rojo BX es una cuerda
(al igual que el segmento de diámetro AB ).

En círculos

Artículo principal: Circle § Chord

Entre las propiedades de las cuerdas de un círculo se encuentran las siguientes:

1. Los acordes son equidistantes del centro si y solo si sus longitudes son iguales.
2. Los acordes iguales están subtendidos por ángulos iguales desde el centro del círculo.
3. Una cuerda que pasa por el centro de un círculo se llama diámetro y es la cuerda más larga de ese círculo específico.
4. Si las extensiones de línea (líneas secantes) de las cuerdas AB y CD se cruzan en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP · PB = CP · PD ( teorema de la potencia de un punto ).

En puntos suspensivos

Los puntos medios de un conjunto de cuerdas paralelas de una elipse son colineales . ^[1]

En trigonometría

Los acordes se utilizaron ampliamente en el desarrollo temprano de la trigonometría . La primera tabla trigonométrica conocida, compilada por Hipparchus , tabulaba el valor de la función de acorde por cada 7+1/2 grados . En el siglo II d.C., Ptolomeo de Alejandría compiló una tabla de acordes más extensa en su libro sobre astronomía , dando el valor del acorde para ángulos que van desde1/2 a 180 grados en incrementos de 1/2la licenciatura. El círculo tenía un diámetro de 120 y las longitudes de las cuerdas tienen una precisión de dos dígitos de base 60 después de la parte entera. ^[2]

La función de la cuerda se define geométricamente como se muestra en la imagen. La cuerda de un ángulo es la longitud de la cuerda entre dos puntos en un círculo unitario separados por ese ángulo central. El ángulo θ se toma en sentido positivo y debe estar en el intervalo 0 < θ ≤ π (medida en radianes). La función de acorde se puede relacionar con la función de seno moderna , tomando uno de los puntos como (1,0) y el otro punto como ( cos θ , sin θ ), y luego usando el teorema de Pitágoras para calcular la cuerda longitud: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

El último paso usa la fórmula de medio ángulo . Así como la trigonometría moderna se basa en la función sinusoidal, la trigonometría antigua se basaba en la función de acordes. Se supone que Hiparco escribió una obra de doce volúmenes sobre acordes, todos ahora perdidos, por lo que presumiblemente se sabía mucho sobre ellos. En la siguiente tabla (donde c es la longitud de la cuerda y D el diámetro del círculo) se puede mostrar que la función de la cuerda satisface muchas identidades análogas a las conocidas modernas:

Nombre	Basado en seno	Basado en acordes
pitagórico	${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$	${\displaystyle \operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,}$
Medio ángulo	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}\,}$
Apotema ( a )	${\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}}$
Ángulo ( θ )	${\displaystyle c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$	${\displaystyle c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \ \theta }$

La función inversa también existe: ^[3]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2}}}$

Ver también

• Segmento circular : la parte del sector que queda después de eliminar el triángulo formado por el centro del círculo y los dos puntos finales del arco circular en el límite.
• Escala de acordes
• Tabla de acordes de Ptolomeo
• Teorema de Holditch , para un acorde que gira en una curva cerrada convexa
• Gráfico circular
• Exsecante y excosecante
• Versine y haversine
• Curva de Zindler ( curva cerrada y simple en la que todas las cuerdas que dividen la longitud del arco en mitades tienen la misma longitud)

Referencias

1. Chakerian, GD (1979). "7". En Honsberger, R. (ed.). Una vista distorsionada de la geometría . Ciruelas matemáticas . Washington, DC, Estados Unidos: Asociación Matemática de América . pag. 147.
2. Maor, Eli (1998), Delicias trigonométricas , Princeton University Press, págs. 25-27, ISBN 978-0-691-15820-4
3. Simpson, David G. (8 de noviembre de 2001). "AUXTRIG" (código fuente FORTRAN-90). Greenbelt, Maryland, EE.UU .: Centro de vuelo espacial Goddard de la NASA . Consultado el 26 de octubre de 2015 .

Lectura adicional

• Hawking, Stephen William , ed. (2002). Sobre los hombros de gigantes: las grandes obras de la física y la astronomía . Filadelfia, Estados Unidos: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . Consultado el 31 de julio de 2017 .
• Stávek, Jiří (10 de marzo de 2017) [26 de febrero de 2017]. "Sobre la belleza oculta de las funciones trigonométricas" . Investigación en Física Aplicada . Praga, CZ: Centro Canadiense de Ciencia y Educación. 9 (2): 57–64. doi : 10.5539 / apr.v9n2p57 . ISSN  1916-9639 . ISSN 1916-9647 .  [1]

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Acorde (geometría) .

• Historia del esquema de trigonometría
• Funciones trigonométricas , centrándose en la historia
• Acorde (de un círculo) con animación interactiva