Cancelando

La cancelación es un proceso matemático utilizado para eliminar subexpresiones de una expresión matemática , cuando esta eliminación no cambia el significado o el valor de la expresión porque las subexpresiones tienen efectos iguales y opuestos. Por ejemplo, una fracción se pone en términos mínimos cancelando los factores comunes del numerador y el denominador . Como otro ejemplo, si a × b = a × c , entonces el término multiplicativo a puede cancelarse si a≠ 0, resultando en la expresión equivalente b = c ; esto es equivalente a dividir entre a .

Cancelando

Si las subexpresiones no son idénticas, es posible que se cancelen parcialmente. Por ejemplo, en la ecuación simple 3 + 2 y = 8 y , ambos lados contienen 2 y (porque 8 y es lo mismo que 2 y + 6 y ). Por lo tanto, el 2 y en ambos lados se puede cancelar, dejando 3 = 6 y , o y = 0.5. Esto equivale a restar 2 y de ambos lados.

A veces, cancelar puede introducir cambios limitados o soluciones adicionales a una ecuación. Por ejemplo, dada la desigualdad ab ≥ 3 b , parece que b en ambos lados se puede cancelar para dar ≥ 3 como solución. Pero cancelar 'ingenuamente' de esta manera, significará que no obtendremos todas las soluciones (conjuntos de ( a, b ) que satisfacen la desigualdad). Esto se debe a que si b fuera un número negativo , dividir por un negativo cambiaría la relación ≥ a una relación ≤. Por ejemplo, aunque 2 es más que 1, –2 es menor que –1. Además, si b fuera ceroluego cero veces cualquier cosa es cero y cancelar significaría dividir por cero en ese caso, lo que no se puede hacer. Entonces, de hecho, si bien la cancelación funciona, cancelar correctamente nos llevará a tres conjuntos de soluciones, no solo a una que pensamos que teníamos. También nos dirá que nuestra solución 'ingenua' es solo una solución en algunos casos, no en todos los casos:

• Si b > 0: podemos cancelar para obtener un ≥ 3.
• Si b <0: entonces la cancelación da un ≤ 3 en su lugar, porque tendríamos que invertir la relación en este caso.
• Si b es exactamente cero: entonces la ecuación es verdadera para cualquier valor de a , porque ambos lados serían cero y 0 ≥ 0.

Por lo tanto, es posible que se necesite algo de cuidado para asegurarse de que la cancelación se realice correctamente y que no se pasen por alto o sean incorrectas las soluciones. Nuestra desigualdad simple tiene tres conjuntos de soluciones, que son:

• b > 0 y a ≥ 3. (Por ejemplo, b = 5 y a = 6 es una solución porque 6 x 5 es 30 y 3 x 5 es 15, y 30 ≥ 15)
  o
• b <0 y a ≤ 3 (Por ejemplo, b = –5 y a = 2 es una solución porque 2 x (–5) es –10 y 3 x (–5) es –15 y –10 ≥ –15)
  o
• b = 0 (y a puede ser cualquier número) (porque cualquier cosa x cero ≥ 3 x cero)

Nuestra solución 'ingenua' (que a ≥ 3) también sería incorrecta a veces. Por ejemplo, si b = –5 entonces a = 4 no es una solución aunque 4 ≥ 3, porque 4 × (–5) es –20, y 3 x (–5) es –15, y –20 no es ≥ -15.

En álgebra avanzada y abstracta, y series infinitas

En matemáticas más avanzadas, la cancelación se puede utilizar en el contexto de series infinitas , cuyos términos se pueden cancelar para obtener una suma finita o una serie convergente . En este caso, el término telescópico se utiliza a menudo. A menudo es necesario un cuidado considerable y la prevención de errores para asegurar que la ecuación enmendada sea válida, o para establecer los límites dentro de los cuales será válida, debido a la naturaleza de dicha serie.

Conceptos relacionados y uso en otros campos

En la ciencia computacional , la cancelación se usa a menudo para mejorar la precisión y el tiempo de ejecución de los algoritmos numéricos .

Ver también

• Álgebra elemental
• Ecuación