desigualdad de Carleman

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La desigualdad de Carleman es una desigualdad en matemáticas , llamada así por Torsten Carleman , quien la demostró en 1923 ^[1] y la usó para demostrar el teorema de Denjoy-Carleman sobre clases cuasi-analíticas . ^{[2] [3]}

La constante e en la desigualdad es óptima, es decir, la desigualdad no siempre se cumple si e se reemplaza por un número más pequeño. La desigualdad es estricta (se cumple con "<" en lugar de "≤") si algún elemento de la secuencia es distinto de cero.

A continuación se esboza una demostración elemental. De la desigualdad de las medias aritmética y geométrica aplicadas a los números${\displaystyle 1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},\dots,n\cdot a_{n}}$

donde MG representa la media geométrica y MA, la media aritmética. La desigualdad de tipo Stirling aplicada a implica${\displaystyle n!\geq {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}}$${\ estilo de visualización n+1}$

demostrando la desigualdad. Además, se sabe que la desigualdad de las medias aritmética y geométrica de los números no negativos es una igualdad si y sólo si todos los números coinciden, es decir, en el presente caso, si y sólo si para . Como consecuencia, la desigualdad de Carleman nunca es una igualdad para una serie convergente, a menos que todas desaparezcan, simplemente porque la serie armónica es divergente.${\ estilo de visualización n}$${\displaystyle a_{k}=C/k}$${\ estilo de visualización k = 1, \ puntos, n}$${\displaystyle a_{n}}$

para los números no negativos a ₁ , a ₂ ,... y p  > 1, reemplazando cada a _n con a^{1/ p}
_n, y dejando p  → ∞.

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