En matemáticas , las formas simétricas de Carlson de integrales elípticas son un pequeño conjunto canónico de integrales elípticas a las que todas las demás pueden reducirse. Son una alternativa moderna a las formas de Legendre . Las formas de Legendre pueden expresarse en términos de las formas de Carlson y viceversa.
Las integrales elípticas de Carlson son:
R F ( X , y , z ) = 1 2 ∫ 0 ∞ D t ( t + X ) ( t + y ) ( t + z ) {\ Displaystyle R_ {F} (x, y, z) = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {\ sqrt {(t + x ) (t + y) (t + z)}}}} R J ( X , y , z , pag ) = 3 2 ∫ 0 ∞ D t ( t + pag ) ( t + X ) ( t + y ) ( t + z ) {\ Displaystyle R_ {J} (x, y, z, p) = {\ tfrac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(t + p) {\ sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}} R C ( X , y ) = R F ( X , y , y ) = 1 2 ∫ 0 ∞ D t ( t + y ) ( t + X ) {\ Displaystyle R_ {C} (x, y) = R_ {F} (x, y, y) = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac { dt} {(t + y) {\ sqrt {(t + x)}}}}} R D ( X , y , z ) = R J ( X , y , z , z ) = 3 2 ∫ 0 ∞ D t ( t + z ) ( t + X ) ( t + y ) ( t + z ) {\ Displaystyle R_ {D} (x, y, z) = R_ {J} (x, y, z, z) = {\ tfrac {3} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {(t + z) \, {\ sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}} Desde R C {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {C}}} y R D {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {D}}} son casos especiales de R F {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {F}}} y R J {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}} , todas las integrales elípticas se pueden evaluar en última instancia en términos de sólo R F {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {F}}} y R J {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}} .
El término simétrico se refiere al hecho de que, a diferencia de las formas de Legendre, estas funciones no se modifican por el intercambio de algunos de sus argumentos. El valor de R F ( X , y , z ) {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {F} (x, y, z)}} es el mismo para cualquier permutación de sus argumentos, y el valor de R J ( X , y , z , pag ) {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J} (x, y, z, p)}} es el mismo para cualquier permutación de sus primeros tres argumentos.
Las integrales elípticas de Carlson llevan el nombre de Bille C. Carlson (1924-2013).
Relación con las formas de Legendre Integrales elípticas incompletas Las integrales elípticas incompletas se pueden calcular fácilmente usando formas simétricas de Carlson:
F ( ϕ , k ) = pecado ϕ R F ( porque 2 ϕ , 1 - k 2 pecado 2 ϕ , 1 ) {\ Displaystyle F (\ phi, k) = \ sin \ phi R_ {F} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right )} mi ( ϕ , k ) = pecado ϕ R F ( porque 2 ϕ , 1 - k 2 pecado 2 ϕ , 1 ) - 1 3 k 2 pecado 3 ϕ R D ( porque 2 ϕ , 1 - k 2 pecado 2 ϕ , 1 ) {\ Displaystyle E (\ phi, k) = \ sin \ phi R_ {F} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right ) - {\ tfrac {1} {3}} k ^ {2} \ sin ^ {3} \ phi R_ {D} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right)} Π ( ϕ , norte , k ) = pecado ϕ R F ( porque 2 ϕ , 1 - k 2 pecado 2 ϕ , 1 ) + 1 3 norte pecado 3 ϕ R J ( porque 2 ϕ , 1 - k 2 pecado 2 ϕ , 1 , 1 - norte pecado 2 ϕ ) {\ Displaystyle \ Pi (\ phi, n, k) = \ sin \ phi R_ {F} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1 \ right) + {\ tfrac {1} {3}} n \ sin ^ {3} \ phi R_ {J} \ left (\ cos ^ {2} \ phi, 1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi, 1,1-n \ sin ^ {2} \ phi \ right)} (Nota: lo anterior solo es válido para 0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\ Displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq 2 \ pi} y 0 ≤ k 2 pecado 2 ϕ ≤ 1 {\ Displaystyle 0 \ leq k ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi \ leq 1} )
Integrales elípticas completas Las integrales elípticas completas se pueden calcular sustituyendo φ = 1 ⁄ 2 π:
K ( k ) = R F ( 0 , 1 - k 2 , 1 ) {\ Displaystyle K (k) = R_ {F} \ left (0,1-k ^ {2}, 1 \ right)} mi ( k ) = R F ( 0 , 1 - k 2 , 1 ) - 1 3 k 2 R D ( 0 , 1 - k 2 , 1 ) {\ Displaystyle E (k) = R_ {F} \ left (0,1-k ^ {2}, 1 \ right) - {\ tfrac {1} {3}} k ^ {2} R_ {D} \ izquierda (0,1-k ^ {2}, 1 \ right)} Π ( norte , k ) = R F ( 0 , 1 - k 2 , 1 ) + 1 3 norte R J ( 0 , 1 - k 2 , 1 , 1 - norte ) {\ Displaystyle \ Pi (n, k) = R_ {F} \ left (0,1-k ^ {2}, 1 \ right) + {\ tfrac {1} {3}} nR_ {J} \ left ( 0,1-k ^ {2}, 1,1-n \ derecha)}
Casos especiales Cuando dos, o los tres argumentos de R F {\ Displaystyle R_ {F}} son iguales, entonces una sustitución de t + X = tu {\ Displaystyle {\ sqrt {t + x}} = u} hace que el integrando sea racional. La integral puede entonces expresarse en términos de funciones trascendentales elementales.
R C ( X , y ) = R F ( X , y , y ) = 1 2 ∫ 0 ∞ 1 t + X ( t + y ) D t = ∫ X ∞ 1 tu 2 - X + y D tu = { arccos X y y - X , X < y 1 y , X = y a r C C o s h X y X - y , X > y {\ Displaystyle R_ {C} (x, y) = R_ {F} (x, y, y) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac { 1} {{\ sqrt {t + x}} (t + y)}} dt = \ int _ {\ sqrt {x}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {u ^ {2} -x + y}} du = {\ begin {cases} {\ frac {\ arccos {\ sqrt {\ frac {x} {y}}}} {\ sqrt {yx}}}, & x y \\\ end {cases}}} Del mismo modo, cuando al menos dos de los tres primeros argumentos de R J {\ Displaystyle R_ {J}} son lo mismo,
R J ( X , y , y , pag ) = 3 ∫ X ∞ 1 ( tu 2 - X + y ) ( tu 2 - X + pag ) D tu = { 3 pag - y ( R C ( X , y ) - R C ( X , pag ) ) , y ≠ pag 3 2 ( y - X ) ( R C ( X , y ) - 1 y X ) , y = pag ≠ X 1 y 3 2 , y = pag = X {\ Displaystyle R_ {J} (x, y, y, p) = 3 \ int _ {\ sqrt {x}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(u ^ {2} -x + y ) (u ^ {2} -x + p)}} du = {\ begin {cases} {\ frac {3} {py}} (R_ {C} (x, y) -R_ {C} (x, p)), & y \ neq p \\ {\ frac {3} {2 (yx)}} \ left (R_ {C} (x, y) - {\ frac {1} {y}} {\ sqrt { x}} \ right), & y = p \ neq x \\ {\ frac {1} {y ^ {\ frac {3} {2}}}}, & y = p = x \\\ end {cases}} }
Propiedades Homogeneidad Sustituyendo en las definiciones integrales t = κ tu {\ Displaystyle t = \ kappa u} para cualquier constante κ {\ Displaystyle \ kappa} , se ha encontrado que
R F ( κ X , κ y , κ z ) = κ - 1 / 2 R F ( X , y , z ) {\ Displaystyle R_ {F} \ left (\ kappa x, \ kappa y, \ kappa z \ right) = \ kappa ^ {- 1/2} R_ {F} (x, y, z)} R J ( κ X , κ y , κ z , κ pag ) = κ - 3 / 2 R J ( X , y , z , pag ) {\ Displaystyle R_ {J} \ left (\ kappa x, \ kappa y, \ kappa z, \ kappa p \ right) = \ kappa ^ {- 3/2} R_ {J} (x, y, z, p )} Teorema de la duplicación R F ( X , y , z ) = 2 R F ( X + λ , y + λ , z + λ ) = R F ( X + λ 4 , y + λ 4 , z + λ 4 ) , {\ Displaystyle R_ {F} (x, y, z) = 2R_ {F} (x + \ lambda, y + \ lambda, z + \ lambda) = R_ {F} \ left ({\ frac {x + \ lambda} {4 }}, {\ frac {y + \ lambda} {4}}, {\ frac {z + \ lambda} {4}} \ right),} dónde λ = X y + y z + z X {\ Displaystyle \ lambda = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} + {\ sqrt {y}} {\ sqrt {z}} + {\ sqrt {z}} {\ sqrt {x}} } .
R J ( X , y , z , pag ) = 2 R J ( X + λ , y + λ , z + λ , pag + λ ) + 6 R C ( D 2 , D 2 + ( pag - X ) ( pag - y ) ( pag - z ) ) = 1 4 R J ( X + λ 4 , y + λ 4 , z + λ 4 , pag + λ 4 ) + 6 R C ( D 2 , D 2 + ( pag - X ) ( pag - y ) ( pag - z ) ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} R_ {J} (x, y, z, p) & = 2R_ {J} (x + \ lambda, y + \ lambda, z + \ lambda, p + \ lambda) + 6R_ {C} (d ^ {2}, d ^ {2} + (px) (py) (pz)) \\ & = {\ frac {1} {4}} R_ {J} \ left ({\ frac {x + \ lambda} {4}}, {\ frac {y + \ lambda} {4}}, {\ frac {z + \ lambda} {4}}, {\ frac {p + \ lambda} {4}} \ right) + 6R_ {C} (d ^ {2}, d ^ {2} + (px) (py) (pz)) \ end {alineado}}} [1] dónde D = ( pag + X ) ( pag + y ) ( pag + z ) {\ Displaystyle d = ({\ sqrt {p}} + {\ sqrt {x}}) ({\ sqrt {p}} + {\ sqrt {y}}) ({\ sqrt {p}} + {\ sqrt {z}})} y λ = X y + y z + z X {\ Displaystyle \ lambda = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} + {\ sqrt {y}} {\ sqrt {z}} + {\ sqrt {z}} {\ sqrt {x}} }
Expansión de la serie Al obtener una expansión de la serie Taylor para R F {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {F}}} o R J {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}} resulta conveniente ampliar sobre el valor medio de los diversos argumentos. Así que para R F {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {F}}} , dejando que el valor medio de los argumentos sea A = ( X + y + z ) / 3 {\ Displaystyle \ scriptstyle {A = (x + y + z) / 3}} , y utilizando la homogeneidad, defina Δ X {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}} , Δ y {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}} y Δ z {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta z}} por
R F ( X , y , z ) = R F ( A ( 1 - Δ X ) , A ( 1 - Δ y ) , A ( 1 - Δ z ) ) = 1 A R F ( 1 - Δ X , 1 - Δ y , 1 - Δ z ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} R_ {F} (x, y, z) & = R_ {F} (A (1- \ Delta x), A (1- \ Delta y), A (1- \ Delta z)) \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {A}}} R_ {F} (1- \ Delta x, 1- \ Delta y, 1- \ Delta z) \ end {alineado} }} es decir Δ X = 1 - X / A {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x = 1-x / A}} etc. Las diferencias Δ X {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}} , Δ y {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}} y Δ z {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta z}} se definen con este signo (de manera que se restan ), para estar de acuerdo con los trabajos de Carlson. Desde R F ( X , y , z ) {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {F} (x, y, z)}} es simétrico bajo permutación de X {\ Displaystyle \ scriptstyle {x}} , y {\ Displaystyle \ scriptstyle {y}} y z {\ Displaystyle \ scriptstyle {z}} , también es simétrico en las cantidades Δ X {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}} , Δ y {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}} y Δ z {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta z}} . De ello se deduce que tanto el integrando de R F {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {F}}} y su integral se puede expresar como funciones de los polinomios simétricos elementales en Δ X {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}} , Δ y {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}} y Δ z {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta z}} cuales son
mi 1 = Δ X + Δ y + Δ z = 0 {\ Displaystyle E_ {1} = \ Delta x + \ Delta y + \ Delta z = 0} mi 2 = Δ X Δ y + Δ y Δ z + Δ z Δ X {\ Displaystyle E_ {2} = \ Delta x \ Delta y + \ Delta y \ Delta z + \ Delta z \ Delta x} mi 3 = Δ X Δ y Δ z {\ Displaystyle E_ {3} = \ Delta x \ Delta y \ Delta z} Expresando el integrando en términos de estos polinomios, realizando una expansión de Taylor multidimensional e integrando término por término ...
R F ( X , y , z ) = 1 2 A ∫ 0 ∞ 1 ( t + 1 ) 3 - ( t + 1 ) 2 mi 1 + ( t + 1 ) mi 2 - mi 3 D t = 1 2 A ∫ 0 ∞ ( 1 ( t + 1 ) 3 2 - mi 2 2 ( t + 1 ) 7 2 + mi 3 2 ( t + 1 ) 9 2 + 3 mi 2 2 8 ( t + 1 ) 11 2 - 3 mi 2 mi 3 4 ( t + 1 ) 13 2 + O ( mi 1 ) + O ( Δ 6 ) ) D t = 1 A ( 1 - 1 10 mi 2 + 1 14 mi 3 + 1 24 mi 2 2 - 3 44 mi 2 mi 3 + O ( mi 1 ) + O ( Δ 6 ) ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} R_ {F} (x, y, z) & = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {A}}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ sqrt {(t + 1) ^ {3} - (t + 1) ^ {2} E_ {1} + (t + 1) E_ {2} -E_ {3}}} } dt \\ & = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {A}}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {(t + 1) ^ {\ frac {3} {2}}}} - {\ frac {E_ {2}} {2 (t + 1) ^ {\ frac {7} {2}}}} + {\ frac {E_ {3 }} {2 (t + 1) ^ {\ frac {9} {2}}}} + {\ frac {3E_ {2} ^ {2}} {8 (t + 1) ^ {\ frac {11} {2}}}} - {\ frac {3E_ {2} E_ {3}} {4 (t + 1) ^ {\ frac {13} {2}}}} + O (E_ {1}) + O (\ Delta ^ {6}) \ right) dt \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {A}}} \ left (1 - {\ frac {1} {10}} E_ {2} + {\ frac {1} {14}} E_ {3} + {\ frac {1} {24}} E_ {2} ^ {2} - {\ frac {3} {44}} E_ {2} E_ { 3} + O (E_ {1}) + O (\ Delta ^ {6}) \ derecha) \ end {alineado}}} La ventaja de expandir el valor medio de los argumentos ahora es evidente; se reduce mi 1 {\ Displaystyle \ scriptstyle {E_ {1}}} idénticamente a cero, y así elimina todos los términos que implican mi 1 {\ Displaystyle \ scriptstyle {E_ {1}}} - que de otro modo sería el más numeroso.
Una serie ascendente para R J {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}} se puede encontrar de forma similar. Hay una ligera dificultad porque R J {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}} no es completamente simétrico; su dependencia de su cuarto argumento, pag {\ Displaystyle \ scriptstyle {p}} , es diferente de su dependencia de X {\ Displaystyle \ scriptstyle {x}} , y {\ Displaystyle \ scriptstyle {y}} y z {\ Displaystyle \ scriptstyle {z}} . Esto se supera tratando R J {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}} como una función completamente simétrica de cinco argumentos, dos de los cuales tienen el mismo valor pag {\ Displaystyle \ scriptstyle {p}} . Por tanto, el valor medio de los argumentos se considera
A = X + y + z + 2 pag 5 {\ Displaystyle A = {\ frac {x + y + z + 2p} {5}}} y las diferencias Δ X {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}} , Δ y {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}} Δ z {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta z}} y Δ pag {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta p}} definido por
R J ( X , y , z , pag ) = R J ( A ( 1 - Δ X ) , A ( 1 - Δ y ) , A ( 1 - Δ z ) , A ( 1 - Δ pag ) ) = 1 A 3 2 R J ( 1 - Δ X , 1 - Δ y , 1 - Δ z , 1 - Δ pag ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} R_ {J} (x, y, z, p) & = R_ {J} (A (1- \ Delta x), A (1- \ Delta y), A (1 - \ Delta z), A (1- \ Delta p)) \\ & = {\ frac {1} {A ^ {\ frac {3} {2}}}} R_ {J} (1- \ Delta x , 1- \ Delta y, 1- \ Delta z, 1- \ Delta p) \ end {alineado}}} Los polinomios simétricos elementales en Δ X {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta x}} , Δ y {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta y}} , Δ z {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta z}} , Δ pag {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta p}} y otra vez) Δ pag {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Delta p}} están en su totalidad
mi 1 = Δ X + Δ y + Δ z + 2 Δ pag = 0 {\ Displaystyle E_ {1} = \ Delta x + \ Delta y + \ Delta z + 2 \ Delta p = 0} mi 2 = Δ X Δ y + Δ y Δ z + 2 Δ z Δ pag + Δ pag 2 + 2 Δ pag Δ X + Δ X Δ z + 2 Δ y Δ pag {\ Displaystyle E_ {2} = \ Delta x \ Delta y + \ Delta y \ Delta z + 2 \ Delta z \ Delta p + \ Delta p ^ {2} +2 \ Delta p \ Delta x + \ Delta x \ Delta z + 2 \ Delta y \ Delta p} mi 3 = Δ z Δ pag 2 + Δ X Δ pag 2 + 2 Δ X Δ y Δ pag + Δ X Δ y Δ z + 2 Δ y Δ z Δ pag + Δ y Δ pag 2 + 2 Δ X Δ z Δ pag {\ Displaystyle E_ {3} = \ Delta z \ Delta p ^ {2} + \ Delta x \ Delta p ^ {2} +2 \ Delta x \ Delta y \ Delta p + \ Delta x \ Delta y \ Delta z + 2 \ Delta y \ Delta z \ Delta p + \ Delta y \ Delta p ^ {2} +2 \ Delta x \ Delta z \ Delta p} mi 4 = Δ y Δ z Δ pag 2 + Δ X Δ z Δ pag 2 + Δ X Δ y Δ pag 2 + 2 Δ X Δ y Δ z Δ pag {\ Displaystyle E_ {4} = \ Delta y \ Delta z \ Delta p ^ {2} + \ Delta x \ Delta z \ Delta p ^ {2} + \ Delta x \ Delta y \ Delta p ^ {2} + 2 \ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p} mi 5 = Δ X Δ y Δ z Δ pag 2 {\ Displaystyle E_ {5} = \ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p ^ {2}} Sin embargo, es posible simplificar las fórmulas para mi 2 {\ Displaystyle \ scriptstyle {E_ {2}}} , mi 3 {\ Displaystyle \ scriptstyle {E_ {3}}} y mi 4 {\ Displaystyle \ scriptstyle {E_ {4}}} usando el hecho de que mi 1 = 0 {\ Displaystyle \ scriptstyle {E_ {1} = 0}} . Expresando el integrando en términos de estos polinomios, realizando una expansión de Taylor multidimensional e integrando término por término como antes ...
R J ( X , y , z , pag ) = 3 2 A 3 2 ∫ 0 ∞ 1 ( t + 1 ) 5 - ( t + 1 ) 4 mi 1 + ( t + 1 ) 3 mi 2 - ( t + 1 ) 2 mi 3 + ( t + 1 ) mi 4 - mi 5 D t = 3 2 A 3 2 ∫ 0 ∞ ( 1 ( t + 1 ) 5 2 - mi 2 2 ( t + 1 ) 9 2 + mi 3 2 ( t + 1 ) 11 2 + 3 mi 2 2 - 4 mi 4 8 ( t + 1 ) 13 2 + 2 mi 5 - 3 mi 2 mi 3 4 ( t + 1 ) 15 2 + O ( mi 1 ) + O ( Δ 6 ) ) D t = 1 A 3 2 ( 1 - 3 14 mi 2 + 1 6 mi 3 + 9 88 mi 2 2 - 3 22 mi 4 - 9 52 mi 2 mi 3 + 3 26 mi 5 + O ( mi 1 ) + O ( Δ 6 ) ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} R_ {J} (x, y, z, p) & = {\ frac {3} {2A ^ {\ frac {3} {2}}}} \ int _ {0 } ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ sqrt {(t + 1) ^ {5} - (t + 1) ^ {4} E_ {1} + (t + 1) ^ {3} E_ {2} - (t + 1) ^ {2} E_ {3} + (t + 1) E_ {4} -E_ {5}}}} dt \\ & = {\ frac {3} {2A ^ { \ frac {3} {2}}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {(t + 1) ^ {\ frac {5} {2}}}} - {\ frac {E_ {2}} {2 (t + 1) ^ {\ frac {9} {2}}}} + {\ frac {E_ {3}} {2 (t + 1) ^ {\ frac {11} {2}}}} + {\ frac {3E_ {2} ^ {2} -4E_ {4}} {8 (t + 1) ^ {\ frac {13} {2}}}} + {\ frac {2E_ {5} -3E_ {2} E_ {3}} {4 (t + 1) ^ {\ frac {15} {2}}}} + O (E_ {1}) + O (\ Delta ^ {6}) \ right) dt \\ & = {\ frac {1} {A ^ {\ frac {3} {2}}}} \ left (1 - {\ frac {3} {14}} E_ {2} + {\ frac {1} {6}} E_ {3} + {\ frac {9} {88}} E_ {2} ^ {2} - {\ frac {3} {22}} E_ {4} - {\ frac {9} {52}} E_ {2} E_ {3} + {\ frac {3} {26}} E_ {5} + O (E_ {1}) + O (\ Delta ^ {6}) \ right) \ end {alineado}}} Al igual que con R J {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}} , expandiendo sobre el valor medio de los argumentos, más de la mitad de los términos (aquellos que involucran mi 1 {\ Displaystyle \ scriptstyle {E_ {1}}} ) se eliminan.
Argumentos negativos En general, los argumentos x, y, z de las integrales de Carlson pueden no ser reales y negativos, ya que esto colocaría un punto de ramificación en el camino de integración, haciendo que la integral sea ambigua. Sin embargo, si el segundo argumento de R C {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {C}}} , o el cuarto argumento, p, de R J {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J}}} es negativo, entonces esto da como resultado un polo simple en el camino de la integración. En estos casos, el valor principal de Cauchy (parte finita) de las integrales puede ser de interés; estos son
pag . v . R C ( X , - y ) = X X + y R C ( X + y , y ) , {\ Displaystyle \ mathrm {pv} \; R_ {C} (x, -y) = {\ sqrt {\ frac {x} {x + y}}} \, R_ {C} (x + y, y) ,} y
pag . v . R J ( X , y , z , - pag ) = ( q - y ) R J ( X , y , z , q ) - 3 R F ( X , y , z ) + 3 y R C ( X z , - pag q ) y + pag = ( q - y ) R J ( X , y , z , q ) - 3 R F ( X , y , z ) + 3 X y z X z + pag q R C ( X z + pag q , pag q ) y + pag {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathrm {pv} \; R_ {J} (x, y, z, -p) & = {\ frac {(qy) R_ {J} (x, y, z, q) -3R_ {F} (x, y, z) +3 {\ sqrt {y}} R_ {C} (xz, -pq)} {y + p}} \\ & = {\ frac {(qy ) R_ {J} (x, y, z, q) -3R_ {F} (x, y, z) +3 {\ sqrt {\ frac {xyz} {xz + pq}}} R_ {C} (xz + pq, pq)} {y + p}} \ end {alineado}}} dónde
q = y + ( z - y ) ( y - X ) y + pag . {\ Displaystyle q = y + {\ frac {(zy) (yx)} {y + p}}.} que debe ser mayor que cero para R J ( X , y , z , q ) {\ Displaystyle \ scriptstyle {R_ {J} (x, y, z, q)}} ser evaluado. Esto puede arreglarse permutando x, y y z de modo que el valor de y esté entre el de x y z.
Evaluación numérica El teorema de la duplicación se puede utilizar para una evaluación rápida y robusta de la forma simétrica de Carlson de integrales elípticas y, por lo tanto, también para la evaluación de la forma de Legendre de integrales elípticas. Calculemos R F ( X , y , z ) {\ Displaystyle R_ {F} (x, y, z)} : primero, defina X 0 = X {\ Displaystyle x_ {0} = x} , y 0 = y {\ Displaystyle y_ {0} = y} y z 0 = z {\ Displaystyle z_ {0} = z} . Luego itera la serie
λ norte = X norte y norte + y norte z norte + z norte X norte , {\ Displaystyle \ lambda _ {n} = {\ sqrt {x_ {n}}} {\ sqrt {y_ {n}}} + {\ sqrt {y_ {n}}} {\ sqrt {z_ {n}} } + {\ sqrt {z_ {n}}} {\ sqrt {x_ {n}}},} X norte + 1 = X norte + λ norte 4 , y norte + 1 = y norte + λ norte 4 , z norte + 1 = z norte + λ norte 4 {\ Displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n} + \ lambda _ {n}} {4}}, y_ {n + 1} = {\ frac {y_ {n} + \ lambda _ {n}} {4}}, z_ {n + 1} = {\ frac {z_ {n} + \ lambda _ {n}} {4}}} hasta alcanzar la precisión deseada: si X {\ Displaystyle x} , y {\ Displaystyle y} y z {\ Displaystyle z} no son negativos, todas las series convergerán rápidamente a un valor dado, digamos, μ {\ Displaystyle \ mu} . Por lo tanto,
R F ( X , y , z ) = R F ( μ , μ , μ ) = μ - 1 / 2 . {\ Displaystyle R_ {F} \ left (x, y, z \ right) = R_ {F} \ left (\ mu, \ mu, \ mu \ right) = \ mu ^ {- 1/2}.} Evaluar R C ( X , y ) {\ Displaystyle R_ {C} (x, y)} es muy similar debido a la relación
R C ( X , y ) = R F ( X , y , y ) . {\ Displaystyle R_ {C} \ left (x, y \ right) = R_ {F} \ left (x, y, y \ right).}
Referencias y enlaces externos BC Carlson, John L. Gustafson 'Aproximaciones asintóticas para integrales elípticas simétricas' 1993 arXiv BC Carlson 'Cálculo numérico de integrales elípticas reales o complejas' 1994 arXiv BC Carlson 'Integrales elípticas: Integrales simétricas' en el cap. 19 de la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas . Fecha de lanzamiento 2010-05-07. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología. 'Perfil: Bille C. Carlson' en Biblioteca digital de funciones matemáticas . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología. Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.12. Integrales elípticas y funciones elípticas jacobianas" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 Código Fortran de SLATEC para evaluar RF , RJ , RC , RD ,