En cálculo integral , una integral elíptica es una de varias funciones relacionadas definidas como el valor de ciertas integrales. Originalmente, surgieron en relación con el problema de encontrar la longitud del arco de una elipse y fueron estudiados por primera vez por Giulio Fagnano y Leonhard Euler ( c. 1750 ). Las matemáticas modernas definen una "integral elíptica" como cualquier función f que se puede expresar en la forma
donde R es una función racional de sus dos argumentos, P es un polinomio de grado 3 o 4 sin raíces repetidas y c es una constante.
En general, las integrales en esta forma no se pueden expresar en términos de funciones elementales . Las excepciones a esta regla general son cuando P tiene raíces repetidas o cuando R ( x , y ) no contiene potencias impares de y . Sin embargo, con la fórmula de reducción apropiada , cada integral elíptica puede llevarse a una forma que involucre integrales sobre funciones racionales y las tres formas canónicas de Legendre (es decir, las integrales elípticas del primer, segundo y tercer tipo).
Además de la forma de Legendre dada a continuación, las integrales elípticas también se pueden expresar en forma simétrica de Carlson . Se puede obtener información adicional sobre la teoría de la integral elíptica mediante el estudio del mapeo de Schwarz-Christoffel . Históricamente, las funciones elípticas se descubrieron como funciones inversas de integrales elípticas.
Notación de argumentos
Las integrales elípticas incompletas son funciones de dos argumentos; las integrales elípticas completas son funciones de un solo argumento. Estos argumentos se expresan de diversas formas diferentes pero equivalentes (dan la misma integral elíptica). La mayoría de los textos se adhieren a un esquema de nomenclatura canónico, utilizando las siguientes convenciones de nomenclatura.
Cada una de las tres cantidades anteriores está completamente determinada por cualquiera de las otras (dado que no son negativas). Por tanto, se pueden utilizar indistintamente.
El otro argumento también se puede expresar como φ , la amplitud , o como x o u , donde x = sin φ = sn u y sn es una de las funciones elípticas jacobianas .
Especificar el valor de cualquiera de estas cantidades determina las demás. Tenga en cuenta que u también depende de m . Algunas relaciones adicionales que involucran a u incluyen
Este último a veces se llama amplitud delta y se escribe como Δ ( φ ) = dn u . En ocasiones, la literatura también se refiere al parámetro complementario , el módulo complementario o el ángulo modular complementario . Estos se definen con más detalle en el artículo sobre períodos trimestrales .
Integral elíptica incompleta del primer tipo
La integral elíptica incompleta del primer tipo F se define como
Esta es la forma trigonométrica de la integral; sustituyendo t = sin θ y x = sin φ , se obtiene la forma normal de Legendre:
De manera equivalente, en términos de amplitud y ángulo modular uno tiene:
En esta notación, el uso de una barra vertical como delimitador indica que el argumento que le sigue es el "parámetro" (como se definió anteriormente), mientras que la barra invertida indica que es el ángulo modular. El uso de un punto y coma implica que el argumento que lo precede es el seno de la amplitud:
Este uso potencialmente confuso de diferentes delimitadores de argumentos es tradicional en integrales elípticas y gran parte de la notación es compatible con la utilizada en el libro de referencia de Abramowitz y Stegun y la utilizada en las tablas integrales de Gradshteyn y Ryzhik .
La integral elíptica incompleta del primer tipo tiene el siguiente teorema de la suma:
El módulo elíptico se puede transformar de esa manera:
Variantes de notación
Existen todavía otras convenciones para la notación de integrales elípticas empleadas en la literatura. La notación con argumentos intercambiados, F ( k , φ ) , se encuentra a menudo; e igualmente E ( k , φ ) para la integral del segundo tipo. Abramowitz y Stegun sustituyen la integral del primer tipo, F ( φ , k ) , por el argumento φ en su definición de las integrales del segundo y tercer tipo, a menos que este argumento vaya seguido de una barra vertical: es decir, E ( F ( φ , k ) | k 2 ) para E ( φ | k 2 ) . Además, sus integrales completas emplean el parámetro k 2 como argumento en lugar del módulo k , es decir, K ( k 2 ) en lugar de K ( k ) . Y la integral del tercer tipo definida por Gradshteyn y Ryzhik , Π ( φ , n , k ) , pone la amplitud φ primero y no la "característica" n .
Por lo tanto, uno debe tener cuidado con la notación al usar estas funciones, porque varias referencias y paquetes de software de buena reputación usan convenciones diferentes en las definiciones de las funciones elípticas. Por ejemplo, algunas referencias, y Wolfram 's Mathematica software y Wolfram Alpha , definen la integral elíptica completa de la primera clase en términos del parámetro m , en lugar del módulo elíptico k .
Integral elíptica incompleta del segundo tipo
La integral elíptica incompleta del segundo tipo E en forma trigonométrica es
Sustituyendo t = sin θ y x = sin φ , se obtiene la forma normal de Legendre:
De manera equivalente, en términos de amplitud y ángulo modular:
La integral elíptica incompleta del segundo tipo tiene el siguiente teorema de la suma:
El módulo elíptico se puede transformar de esa manera:
Integral elíptica incompleta de tercer tipo
La integral elíptica incompleta del tercer tipo Π es
o
El número n se llama característica y puede tomar cualquier valor, independientemente de los demás argumentos. Sin embargo, tenga en cuenta que el valor Π (1;π/2| m ) es infinito, para cualquier m .
Una relación con las funciones elípticas jacobianas es
La longitud del arco meridiano desde el ecuador a la latitud φ también está relacionada con un caso especial de Π :
Integral elíptica completa del primer tipo
Gráfica de la integral elíptica completa del primer tipo K ( k )
Se dice que las integrales elípticas están 'completas' cuando la amplitud φ = π/2y por lo tanto x = 1 . La integral elíptica completa del primer tipo K puede definirse como
o de manera más compacta en términos de la integral incompleta del primer tipo como
Esta aproximación tiene una precisión relativa mejor que 3 × 10 −4 para k < 1/2. Mantener solo los dos primeros términos es correcto con una precisión de 0.01 para k < 1/2. [ cita requerida ]
Ecuación diferencial
La ecuación diferencial para la integral elíptica del primer tipo es
Una segunda solución a esta ecuación es . Esta solución satisface la relación
Gráfico de la integral elíptica completa del segundo tipo
La integral elíptica completa del segundo tipo E se define como
o de forma más compacta en términos de la integral incompleta del segundo tipo E ( φ , k ) como
Para una elipse con semieje mayor a y semieje menor b y excentricidad e = √ 1 - b 2 / a 2 , la integral elíptica completa del segundo tipo E ( e ) es igual a un cuarto de la circunferencia c de la elipse medida en unidades del semieje mayor a . En otras palabras:
La integral elíptica completa del segundo tipo se puede expresar como una serie de potencias [ cita requerida ]
Al igual que la integral del primer tipo, la integral elíptica completa del segundo tipo se puede calcular de manera muy eficiente utilizando la media aritmética-geométrica ( Carlson 2010 , 19.8).
Definir secuencias y , dónde , y las relaciones de recurrencia , mantener. Además, defina. Por definición,
.
También, . Luego
En la práctica, la media aritmética-geométrica simplemente se calcularía hasta cierto límite. Esta fórmula converge cuadráticamente para todos. Para acelerar aún más el cálculo, la relación puede ser usado.
Ecuación derivada y diferencial
Una segunda solución a esta ecuación es E ( √ 1 - k 2 ) - K ( √ 1 - k 2 ) .
Integral elíptica completa de tercer tipo
Gráfico de la integral elíptica completa de tercer tipo con varios valores fijos de
La integral elíptica completa del tercer tipo Π se puede definir como
Tenga en cuenta que a veces la integral elíptica del tercer tipo se define con un signo inverso para la característica n ,
Al igual que las integrales elípticas completas del primer y segundo tipo, la integral elíptica completa del tercer tipo se puede calcular de manera muy eficiente utilizando la media aritmético-geométrica ( Carlson 2010 , 19.8).
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