La identidad de Cassini (a veces llamada identidad de Simson ) y la identidad de Catalán son identidades matemáticas para los números de Fibonacci . La identidad de Cassini , un caso especial de la identidad de Catalán , establece que para el número n de Fibonacci,
La identidad catalana generaliza esto:
La identidad de Vajda generaliza esto:
Historia
La fórmula de Cassini fue descubierta en 1680 por Giovanni Domenico Cassini , entonces director del Observatorio de París, y probada de forma independiente por Robert Simson (1753). [1] Sin embargo, Johannes Kepler presumiblemente conocía la identidad ya en 1608. [2] Eugène Charles Catalan encontró la identidad que lleva su nombre en 1879. [1] El matemático británico Steven Vajda (1901-1995) publicó un libro sobre números de Fibonacci ( Fibonacci y Lucas Numbers, y la sección áurea: teoría y aplicaciones , 1989) que contiene la identidad que lleva su nombre. [3] [4] Sin embargo, la identidad ya fue publicada en 1960 por Dustan Everman como problema 1396 en The American Mathematical Monthly . [1]
Prueba por teoría de matrices
Se puede dar una prueba rápida de la identidad de Cassini ( Knuth 1997 , p. 81) reconociendo el lado izquierdo de la ecuación como un determinante de una matriz de 2 × 2 de números de Fibonacci. El resultado es casi inmediata cuando la matriz se ve que es la n ésima potencia de una matriz con determinante -1:
Notas
- ^ a b c Thomas Koshy: Números de Fibonacci y Lucas con aplicaciones . Wiley, 2001, ISBN 9781118031315 , págs. 74-75, 83, 88
- ^ Miodrag Petkovic: Famosos rompecabezas de grandes matemáticos . AMS, 2009, ISBN 9780821848142 , S. 30-31
- ^ Douglas B. West: Matemáticas combinatorias . Cambridge University Press, 2020, pág. 61
- ^ Steven Vadja: números de Fibonacci y Lucas, y la sección áurea: teoría y aplicaciones . Dover, 2008, ISBN 978-0486462769 , pág. 28 (publicación original 1989 en Ellis Horwood)
Referencias
- Knuth, Donald Ervin (1997), El arte de la programación informática, Volumen 1: Algoritmos fundamentales , El arte de la programación informática , 1 (3.a ed.), Lectura, Mass: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4
- Simson, R. (1753). "Una explicación de un pasaje oscuro en el comentario de Albert Girard sobre las obras de Simon Stevin" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 48 (0): 368–376. doi : 10.1098 / rstl.1753.0056 .
- Werman, M .; Zeilberger, D. (1986). "Una prueba biyectiva de la identidad de Fibonacci de Cassini" . Matemáticas discretas . 58 (1): 109. doi : 10.1016 / 0012-365X (86) 90194-9 . Señor 0820846 .