La prueba de convergencia de Cauchy es un método utilizado para probar series infinitas de convergencia . Se basa en sumas delimitadas de términos en la serie. Este criterio de convergencia lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy, quien lo publicó en su libro de texto Cours d'Analyse 1821. [1]
Declaración
Una serie
- es convergente si y solo si para cada hay un número natural N tal que
se cumple para todo n > N y todo p ≥ 1 . [2]
Explicación
La prueba funciona porque el espacio R de números reales y el espacio C de números complejos (con la métrica dada por el valor absoluto) son ambos completos . Entonces la serie es convergente si y solo si la suma parcial
es una secuencia de Cauchy .
Una secuencia de números reales o complejos. es una secuencia de Cauchy si y solo si converge (hasta algún punto a en R o C ). [3] La definición formal establece que para cadahay un número N , tal que para todo n , m > N se cumple
Supondremos m > n y, por lo tanto, estableceremos p = m - n .
Mostrar que una secuencia es una secuencia de Cauchy es útil ya que no necesitamos conocer el límite de la secuencia en cuestión. La prueba de convergencia de Cauchy solo se puede utilizar en espacios métricos completos (como R y C ), que son espacios donde convergen todas las secuencias de Cauchy. Solo necesitamos mostrar que sus elementos se acercan arbitrariamente entre sí después de una progresión finita en la secuencia. Existen aplicaciones informáticas de la secuencia de Cauchy, en las que se puede configurar un proceso iterativo para crear dichas secuencias.
Prueba
Podemos usar los resultados sobre la convergencia de la secuencia de sumas parciales de la serie infinita y aplicarlos a la convergencia de la propia serie infinita. La prueba del criterio de Cauchy es una de esas aplicaciones. Para cualquier secuencia real, los resultados anteriores sobre la convergencia implican que la serie infinita
converge si y solo si para cadahay un número N , tal que
m ≥ n ≥ N implica
Probablemente la parte más interesante de [este teorema] es que la condición de Cauchy implica la existencia del límite: esto de hecho está relacionado con la completitud de la línea real. El criterio de Cauchy se puede generalizar a una variedad de situaciones, que pueden resumirse libremente como "una condición de oscilación que desaparece es equivalente a la convergencia". [5]
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Referencias
- ^ cf. la respuesta a la pregunta "Prueba de convergencia del origen de Cauchy" del sitio web de preguntas y respuestas "Historia de la ciencia y las matemáticas"
- ^ Abbott, Stephen (2001). Comprensión del análisis , p.63. Springer, Nueva York. ISBN 9781441928665
- ^ Wade, William (2010). Introducción al análisis . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pag. 59. ISBN 9780132296380.
- ^ Wade, William (2010). Introducción al análisis . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. pag. 188. ISBN 9780132296380.
- ^ Enciclopedia de Matemáticas. "Criterios de Cauchy" . Sociedad Matemática Europea . Consultado el 4 de marzo de 2014 .