Valor principal de Cauchy

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En matemáticas , el valor principal de Cauchy , llamado así por Augustin Louis Cauchy , es un método para asignar valores a ciertas integrales impropias que de otra manera no estarían definidas.

Dependiendo del tipo de singularidad en el integrando f , el valor principal de Cauchy se define de acuerdo con las siguientes reglas:

En algunos casos es necesario tratar simultáneamente con singularidades tanto en un número finito by en infinito. Esto generalmente se hace mediante un límite de la forma.

Sea el conjunto de funciones bump , es decir, el espacio de funciones suaves con soporte compacto en la línea real . Entonces el mapa${\ Displaystyle {C_ {c} ^ {\ infty}} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Por lo tanto, existe y aplicando el teorema del valor medio para obtenemos:${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \, {\ frac {u (x) -u (-x)} {x}} \, \ mathrm {d} x}$${\ Displaystyle u (x) -u (-x),}$

Tenga en cuenta que la prueba simplemente necesita ser continuamente diferenciable en una vecindad de 0 y estar limitada hacia el infinito. Por lo tanto, el valor principal se define en supuestos aún más débiles, como integrable con soporte compacto y diferenciable en 0.${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle x \, u}$${\ Displaystyle u}$

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