producto Cauchy

---

En matemáticas , más específicamente en análisis matemático , el producto de Cauchy es la convolución discreta de dos series infinitas . Lleva el nombre del matemático francés Augustin-Louis Cauchy .

El producto de Cauchy puede aplicarse a series infinitas ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]} o series de potencias. ^{[12] [13]} Cuando la gente lo aplica a sucesiones finitas ^[14] o series finitas, es por abuso del lenguaje: en realidad se refieren a convolución discreta .

Sean y dos series infinitas con términos complejos. El producto de Cauchy de estas dos series infinitas se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera:${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty}a_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{\infty}b_{j}}$

con coeficientes complejos y . El producto de Cauchy de estas dos series de potencias se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera:${\ estilo de visualización \ {a_ {i} \}}$${\ estilo de visualización \ {b_ {j} \}}$

Sean ( a _n ) _{n ≥0} y ( b _n ) _{n ≥0 sucesiones} reales o complejas. Franz Mertens demostró que, si la serie converge a A y converge a B , y al menos una de ellas converge absolutamente , entonces su producto de Cauchy converge a AB . ^[15] El teorema sigue siendo válido en un álgebra de Banach (ver primera línea de la siguiente prueba).${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$

No es suficiente que ambas series sean convergentes; si ambas sucesiones son condicionalmente convergentes , el producto de Cauchy no tiene por qué converger hacia el producto de las dos series, como muestra el siguiente ejemplo:

---