En matemáticas , se dice que una serie infinita de números converge absolutamente (o que es absolutamente convergente ) si la suma de los valores absolutos de los sumandos es finita. Más precisamente, una serie real o complejase dice que converge absolutamente si por un número real . De manera similar, una integral impropia de una función ,, se dice que converge absolutamente si la integral del valor absoluto del integrando es finita, es decir, si
La convergencia absoluta es importante para el estudio de series infinitas porque su definición es lo suficientemente fuerte como para tener propiedades de sumas finitas que no todas las series convergentes poseen, pero es lo suficientemente amplia como para ocurrir comúnmente. (Una serie convergente que no es absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente ). Las series absolutamente convergentes se comportan "bien". Por ejemplo, los reordenamientos no cambian el valor de la suma. Esto no es cierto para las series condicionalmente convergentes: la serie armónica alterna converge a , mientras que su reordenamiento (en el que el patrón de repetición de signos son dos términos positivos seguidos de un término negativo) converge a .
Fondo
Se puede estudiar la convergencia de series cuyos términos a n son elementos de un grupo topológico abeliano arbitrario . La noción de convergencia absoluta requiere más estructura, es decir, una norma , que es una función positiva de valor real.en un grupo abeliano G (escrito de forma aditiva , con elemento de identidad 0) tal que:
- La norma del elemento identidad de G es cero:
- Por cada x en G , implica
- Por cada x en G ,
- Para cada x , y en G ,
En este caso, la función induce la estructura de un espacio métrico (un tipo de topología ) en G . Por lo tanto, podemos considerar series valoradas en G y definir tal serie como absolutamente convergente si
En particular, estas declaraciones se aplican utilizando la norma | x | ( valor absoluto ) en el espacio de números reales o números complejos.
En espacios vectoriales topológicos
Si X es un espacio vectorial topológico (TVS) yes una familia (posiblemente incontable ) en X, entonces esta familia es absolutamente sumable si [1]
- es sumable en X (es decir, si el límitede la red converge en X , dondees el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de A dirigido por inclusión y ), y
- por cada seminorma continuo p en X , la familia es sumable en .
Si X es un espacio normal y sies una familia absolutamente sumable en X , entonces necesariamente todo menos una colección contable deson 0.
Las familias absolutamente sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares .
Relación con la convergencia
Si G es completo con respecto a la métrica d , entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. La demostración es la misma que para las series de valores complejos: use la completitud para derivar el criterio de Cauchy para la convergencia (una serie es convergente si y solo si sus colas pueden hacerse arbitrariamente pequeñas en la norma) y aplique la desigualdad del triángulo.
En particular, para series con valores en cualquier espacio de Banach , la convergencia absoluta implica convergencia. Lo contrario también es cierto: si la convergencia absoluta implica la convergencia en un espacio normado, entonces el espacio es un espacio de Banach.
Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, se denomina condicionalmente convergente . Un ejemplo de una serie condicionalmente convergente es la serie armónica alterna . Muchas pruebas estándar de divergencia y convergencia, entre las que se incluyen la prueba de razón y la prueba de raíz , demuestran una convergencia absoluta. Esto se debe a que una serie de potencias es absolutamente convergente en el interior de su disco de convergencia.
Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente de números complejos es convergente
Suponer que es convergente. Entonces, de manera equivalente, es convergente, lo que implica que y convergen por comparación de términos de términos no negativos. Basta mostrar que la convergencia de estas series implica la convergencia de y , pues entonces, la convergencia de seguiría, por la definición de la convergencia de series de valores complejos.
La discusión anterior muestra que solo necesitamos probar que la convergencia de implica la convergencia de .
Dejar ser convergente. Desde, tenemos
Desde es convergente, es una secuencia monótona acotada de sumas parciales, y también debe converger. Señalando que es la diferencia de la serie convergente, concluimos que también es una serie convergente, como se desea.
Prueba alternativa usando el criterio de Cauchy y la desigualdad del triángulo
Al aplicar el criterio de Cauchy para la convergencia de una serie compleja, también podemos probar este hecho como una simple implicación de la desigualdad del triángulo . [2] Según el criterio de Cauchy , converge si y solo si para alguna , existe tal que para cualquier . Pero la desigualdad del triángulo implica que, así que eso para cualquier , que es exactamente el criterio de Cauchy para .
Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente en un espacio de Banach es convergente
El resultado anterior se puede generalizar fácilmente a todos los espacios de Banach ( X , ǁ⋅ǁ) . Deje Σ x n sea una serie absolutamente convergente en X . Comoes una secuencia de Cauchy de números reales, para cualquier ε > 0 y números naturales lo suficientemente grandes m > n se mantiene:
Por la desigualdad del triángulo para la norma ǁ⋅ǁ , inmediatamente se obtiene:
Lo que significa que es una secuencia de Cauchy en X , por lo tanto, la serie es convergente en X . [3]
Reordenamientos y convergencia incondicional
En el contexto general de una serie valorada en G , se hace una distinción entre convergencia absoluta e incondicional, y la afirmación de que una serie real o compleja que no es absolutamente convergente es necesariamente condicionalmente convergente (es decir, no incondicionalmente convergente) es entonces un teorema, no es una definición. Esto es discutido con más detalle abajo.
Dada una serie con valores en un grupo abeliano normado G y una permutación σ de los números naturales, se construye una nueva serie, se dice que es una reordenación de la serie original. Se dice que una serie es incondicionalmente convergente si todos los reordenamientos de la serie son convergentes al mismo valor.
Cuando G es completo, la convergencia absoluta implica una convergencia incondicional:
- Teorema. Dejar Ser un grupo abeliano normalizado completo. Suponer
- .
- Si σ : N → N es cualquier permutación, entonces
El tema de la recíproca es interesante. Para las series reales, del teorema del reordenamiento de Riemann se deduce que la convergencia incondicional implica una convergencia absoluta. Dado que una serie con valores en un espacio normado de dimensión finita es absolutamente convergente si cada una de sus proyecciones unidimensionales es absolutamente convergente, se deduce que la convergencia absoluta e incondicional coinciden para las series valoradas por R n .
Pero hay series incondicionalmente y no absolutamente convergentes con valores en el espacio de Banach ℓ ∞ , por ejemplo:
dónde es una base ortonormal. Un teorema de A. Dvoretzky y C. A. Rogers afirma que todo espacio de Banach de dimensión infinita admite una serie incondicionalmente convergente que no es absolutamente convergente. [4]
Prueba del teorema
Para cualquier ε > 0, podemos elegir algunos, tal que:
Dejar
Finalmente para cualquier entero dejar
Luego
Esto muestra que
es decir:
Productos de serie
El producto de Cauchy de dos series converge al producto de las sumas si al menos una de las series converge absolutamente. Es decir, suponga que
- y .
El producto de Cauchy se define como la suma de los términos c n donde:
Entonces, si bien los unos n o b n suma converge absolutamente, entonces
Convergencia absoluta de integrales
La integral de una función real o de valor complejo se dice que converge absolutamente si También se dice que es absolutamente integrable . La cuestión de la integrabilidad absoluta es intrincada y depende de si se considera la integral de Riemann , Lebesgue o Kurzweil-Henstock (gauge); para la integral de Riemann, también depende de si solo consideramos la integrabilidad en su sentido propio ( y ambas acotadas ), o permitir el caso más general de integrales impropias.
Como propiedad estándar de la integral de Riemann, cuando es un intervalo acotado , toda función continua está acotada y (Riemann) integrable, y dado que continuo implica continuo, cada función continua es absolutamente integrable. De hecho, desde ¿Es Riemann integrable en Si es (apropiadamente) integrable y es continuo, se sigue que es propiamente Riemann integrable si es. Sin embargo, esta implicación no se cumple en el caso de integrales impropias. Por ejemplo, la función es incorrectamente integrable por Riemann en su dominio ilimitado, pero no es absolutamente integrable:
- pero
De hecho, de manera más general, dada cualquier serie se puede considerar la función escalonada asociada definido por . Then converges absolutely, converges conditionally or diverges according to the corresponding behavior of
The situation is different for the Lebesgue integral, which does not handle bounded and unbounded domains of integration separately (see below). The fact that the integral of is unbounded in the examples above implies that is also not integrable in the Lebesgue sense. In fact, in the Lebesgue theory of integration, given that is measurable, is (Lebesgue) integrable if and only if is (Lebesgue) integrable. However, the hypothesis that is measurable is crucial; it is not generally true that absolutely integrable functions on are integrable (simply because they may fail to be measurable): let be a nonmeasurable subset and consider where is the characteristic function of . Then is not Lebesgue measurable and thus not integrable, but is a constant function and clearly integrable.
On the other hand, a function may be Kurzweil-Henstock integrable (gauge integrable) while is not. This includes the case of improperly Riemann integrable functions.
In a general sense, on any measure space , the Lebesgue integral of a real-valued function is defined in terms of its positive and negative parts, so the facts:
- f integrable implies |f| integrable
- f measurable, |f| integrable implies f integrable
are essentially built into the definition of the Lebesgue integral. In particular, applying the theory to the counting measure on a set S, one recovers the notion of unordered summation of series developed by Moore–Smith using (what are now called) nets. When S = N is the set of natural numbers, Lebesgue integrability, unordered summability and absolute convergence all coincide.
Finally, all of the above holds for integrals with values in a Banach space. The definition of a Banach-valued Riemann integral is an evident modification of the usual one. For the Lebesgue integral one needs to circumvent the decomposition into positive and negative parts with Daniell's more functional analytic approach, obtaining the Bochner integral.
Ver también
- Convergence of Fourier series
- Conditional convergence
- Modes of convergence (annotated index)
- Cauchy principal value
- Fubini's theorem
- 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·
- 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·
Referencias
- ^ Schaefer & Wolff 1999, pp. 179-180.
- ^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. pp. 71–72. ISBN 0-07-054235-X.
- ^ Megginson, Robert E. (1998), An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, p. 20, ISBN 0-387-98431-3 (Theorem 1.3.9)
- ^ Dvoretzky, A.; Rogers, C. A. (1950), "Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 36:192–197.
Works cited
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
General references
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
- Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
- Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250.
- Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.