La ecuación de Chebyshev es la ecuación diferencial lineal de segundo orden
donde p es una constante real (o compleja). La ecuación lleva el nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev .
Las soluciones se pueden obtener por series de potencias :
donde los coeficientes obedecen a la relación de recurrencia
La serie converge para (nota, x puede ser complejo), como puede verse al aplicar la prueba de razón a la recurrencia.
La recurrencia puede comenzar con valores arbitrarios de un 0 y un 1 , lo que lleva al espacio bidimensional de soluciones que surge de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Las opciones estándar son:
- a 0 = 1; a 1 = 0, lo que lleva a la solución
y
- a 0 = 0; a 1 = 1, lo que lleva a la solución
La solución general es cualquier combinación lineal de estos dos.
Cuando p es un número entero no negativo, una u otra de las dos funciones tiene su serie terminada después de un número finito de términos: F termina si p es par y G termina si p es impar. En este caso, esa función es un polinomio de grado py es proporcional al polinomio de Chebyshev de primer tipo.
- si p es par
- si p es impar
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